三垂线定理逆定理证明和应用求二面角.ppt

* 性质 判定定理 性质 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 PO 平面PAO a⊥PO ③ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 三垂线定理 P a A o α 三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？ 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 P A O a α P A O a α 三垂线定理包含几种垂直关系？ ②线射垂直 ①线面垂直 ③ 线斜垂直 直 线 AP 和 平面α垂直 平面内的直线a和平面一条斜线的射影AO垂直 平面内的直线a和平面的一条斜线OP垂直 P A O a α P A O a α 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 ？ P A O a α P A O a α 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线定理的逆定理 P A O a α AO 平面PAO a⊥AO ③ PA⊥α a α ① PA⊥a PO⊥a ② a⊥平面PAO 例1. PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD P O A B C D 证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD PO⊥BD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∴ PA⊥平面ABCD ∵ 由三垂线定理： 二、三垂线定理的应用 应用1.证明线线垂直 例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C ∴BD1⊥AC A1 D1 C1 B1 A D C B ∴BD1⊥平面AB1C 证明：连结BD， 连结A1B 三垂线定理 ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的 射影 而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 ∴BD1⊥AB1 例2.已知：在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 B A D C A1 D1 B1 C1 Ex：(1)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (2)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (3)P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA?BC ，PB?AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的( ） (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 射影定位（三棱锥定位） A B D 用三垂线定理及逆定理求二面角 1．三垂线定理及逆定理 P A O a 定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。 b 三垂线定理及逆定理包含四线一面以后称这个平面为基面 一、复习导入 逆定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。 2．什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． P A B 3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？ “定义法” a b “垂面法” A H B “三垂线法” 以后我们还将学习“投影法”、“空间向量法”和“异面直线距离法”等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二面角的大小。 二、新课学习 实例分析 例1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小． A A1 B B1 C C1 D D1 E 思路分析：?????? ①定基面 平面BCD ②定垂线 过E作EF⊥CD于F F ③找斜线or射影 作FG⊥BD于G G 解：过E作EF⊥CD于F，过F作FG⊥BD ∴ ∠EGF为二面角E－BD－C的平面角． ∵BC = 1，CD = 2， 而EF = 1，在△EFG中 ∴所求二面角大小为 ∵ ABCD－A