第七章 勒贝格积分理论简介.doc

第七章 勒贝格积分理论简介 本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。所说可测均指。所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。 在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集上的符号函数是可以积分的当且仅当是可测的，由此引入了可测函数的概念。但是从可测函数的角度考虑，可测函数可以另外的方式引入。本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。 §1 可测函数的定义刻画与运算 我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。 7.1定义：设是定义在上的函数，若对任意集合是可侧集，称是可侧函数。 7.2命题. 设是集合上的函数。 (1)若是可侧，在上连续，则是上可测函数。 (2) 若是上可测函数，，则集合，，,都是可测集。 (3)若，且在上可测，则是上的可测函数。 证明：(1)对任意，是中开集，即存在中开集,使得,故是可侧集。 (2)结论可由如下的集合等式得到 (3)由 可知是可侧集。 ■ 注：下面我们考虑的函数可以是从到的映射。 若是零测集，在0点处处取值可以认为是，视情况任意定义。不难看出，若时，无论在0点取值如何定义，也是上的可测函数(只要在上可测)。 在将上的可测函数都看成是从到的广义实值函数时，7.2命题中的(2)就要补充证明是可侧集。但因，所以7.2命题中的(2)也是成立的。 7.3定理：设是上的一列可测函数，，则是上可测函数。 证明：因为对任意， 再由可列个可侧集的交集，并集都可侧，可知可测，即是可测函数。 记，在中的函数可以进行加乘运算，函数列可以取上下极限等。那么，对这些有限或无限的运算是封闭的吗？为了使与之相关的验证更为直接，同时也是为了定义勒贝格积分时简明和自然，我们将讨论可测函数的另一种刻画方式。 7.4定义：设是一可侧集，称是的一个可测分划，如果(ⅰ) ;(ⅱ) ;(ⅲ)任意是可侧集。 7.5定义：设是一可侧集，是上的一个函数，若存在的一个可测分划，及实数使得 (其中的特征函数) 便称是上的一个简单(可测)函数。 ■ 常用来举例的狄里克雷函数就是一个简单函数。 注：本书说的简单函数均是可测的简单函数。尽管在一般情况下，简单函数不一定非得可测不可，但是本书不讨论可测的简单函数。 记。 7.6命题：(1)可测集上的简单函数是可测的。 (2) 若，则 均属于。 证明：(1)由定义可知. (2)若显然属于。设 于是是的一个可测分划。简化的特征函数为，立刻可以验证 ■ 由简单函数的定义及7.3定理，立刻得 7.7推论：若可侧集上的函数是一列简单函数列的极限，则是上的可测函数。 ■ 下面引入上定义的函数的另一种表示形式，记 由此定义，不难验证如下结果。 7.8命题：是上的可测函数。 (1) (2) 若可测，则与都是非负可测函数。■ 7.9定理：是上的可测函数当且当是上一列简单函数的极限。 证明：当是简单函数列的极限时，当然是可测函数。现设是可测函数。 因为，若能证明每个非负可测函数都是简单函数的极限，则有简单函数列 于是也是简单函数列，且,结论即得。因此，下面只就是非负可测函数的情况讨论即可。对每个给定的非0。 记 简证的特征函数，的特征函数。 则 是一简单函数，且，对任意的成立。任取,若。 若对任意的存在，又存在，取 ，又因存在，使得，故 这说明 证毕■ 注：在上面定理的证明中，我们其实得到了一个更为具体的结论，若是上的非负可测函数，则存在一列简单函数满足： 且 7.10定理：设是可侧集，，则 (1) (2) (3) (4) (5) 证明：其中(1)， (2)， (5)可由7.6命题，7.9定理以及极限的四则运算直接得到。而 故由(2)可知，这便证明了(3)。又 由(1)， (2)，(3)可得(4)。 7.11定理：设是可侧集，，则 (1) 与属于。 (2) 属于。 证明(1) 记，则 ，是可测函数列。因 由7.3定理，便得到结论。 (2)记， 由(1)，与都是可测函数列。 可知且 ■ 7.12命题：是可测集，是定义在上的函数，且则可测当且仅当可测。 证明：对任意，与的对称差是一零测集，故可测当且仅当可测。 ■ 7.13定义：