第七章 布莱克—舒尔斯期权定价公式的扩展.ppt

使用原先的连续布朗运动来反映连续扩散过程之外，同时引入泊松 过程来描述资产价格的跳跃： 其中， 部分是资产价格不发生跳跃时所服从的连续扩 散过程，其变量定义如前，其中的 和 都是不发生跳跃时的波动率和 收益率。方程的后半部分是对跳跃过程的描述。 其中的 为泊松过程，定义为 。即在一个很小的时 间间隔 里 的一个跳跃的概率为 。 叫做泊松过程的强度。运用 Ito引理，我们可以得到价格对数遵循的跳跃扩散过程为 考察组合 运用Ito引理，包含了跳跃的组合价值变化为： 如果 时刻没有跳跃发生，则 ，那么我们就会选择 来降低风险。 如果 时刻有跳跃，则 ， 我们仍然可以选择 （遵从BS 模型的策略，仅为扩散保值）。 相应组合的价值变化就是： 如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于 可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。换一句话说，尽管其中仍然包含风险，但 的期望值却应该等于组合的无风险收益。 用这个假定，我们得到包含跳跃的期权定价公式： 表示对跳跃幅度 的期望，也可以写作 ，其中 是 的概率密度函数。 Merton于1976年提出了一个重要的思想： 差分微分方程一般是没有解析解的，但在一些特殊情况下如 服从 对数正态分布时，这个方程有一个简单的解。假设 的标准差是 ， 我们令 ，这时欧式看涨期权价格为 其中 ， ， 是没有考虑跳跃时根据BS公式和相应给定的参数值计算的期权价值。 跳跃扩散模型确实反映了BS模型中忽略了的真实现象，但是它们在现实中却较少使用，BS公式仍然广泛使用，主要的三个原因是： 参数预测很困难。即使是最简单的跳跃扩散模型也需要预测由λ 衡量的跳跃强度以及这个跳跃幅度的大小J。如果要考虑J的分布，会更加复杂。 方程难以求解。跳跃扩散模型不再是一个扩散方程，而是一个差 分方程，除了一些特殊情形外没有解析解。 完全保值的不可能性。在标的资产价格有跳跃的情况下，完美无 风险套期保值是不可能的。 Hua Wilmott（1997）和Hua（1997）提出了一个崩盘模型， 考虑在标的资产价格出现极端变动的情况下，如何为期权定价。 这一模型的主要思想是：假设最糟糕的情况确实发生，度量标的 资产价格变化可能导致的最大损失，之后使用数值方法中的二叉树模 型，根据可能获得的最低收益来为期权定价。 建立一个保值组合： 整个组合的价值变化为： （扩散过程的上升情形） （扩散过程的下降情形） （崩盘情形） 强调两点： 1.基本崩盘模型中只考虑发生一次崩盘的情况，这样崩盘之后期权头 寸的价值 仍然是根据相应的 和 t 计算出来的BS价格。 2.由于我们已经为期权建立了保值组合，对于整个组合来说，并非 变动幅度越大，组合价值越低，而是会出现一个临界点。 Hua Wilmott发现，当 足够大到 时，最糟糕的情况并不是发生在出现崩盘的时候，而是出现在正常的 扩散过程中，即A、B状态中；如果 小于上述临界值，则崩盘将导致 最差的结果。 大于临界值的情形 小于临界值的情形 以上就是存在崩盘可能的情况下的期权定价公式，可以使用一般二叉树模型的倒推法计算出 的价值。 从离散到连续的推广：令 ，满足下面限制条件时仍然可以用 BS公式来求取 崩盘程度的扩展：假设 ，这样期权价值就