第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波.ppt

共128页 第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波 2.1 引言 本章内容是解决噪声中提取信号的问题。而 维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。 信号的恢复及信号的判决是两个概念。 而信号恢复（估计）的准确性判断准则也不一样。如：误差的代数和最小；误差的绝对值和最小；误差的平方和最小等。（见实例） Wiener Kalman Filter 设计（即获得系统的单位冲激相应）的准则：（条件） 满足最小均方误差（正交性原理）为准则的，即保证： 好处：运算简单，对过大噪声敏感，小噪声不敏感；符合实际工程需要 因此维纳过滤与卡尔曼过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。 维纳滤波器的输入—输出关系 上式展开有： 因此维纳滤波器的设计问题，归结为求解 wiener-Hopf 方程 解Wiener-Hopf 方程 存在的问题及解决的思路 存在的问题： 1。假设设计的是因果系统，由于存在 k0的约束条件，卷积定理（双边Z变换）不能用。 2。实际物理系统为因果系统。 解决思路： 1。设计一个非因果性系统（滤波器）。 2。用有限长的因果序列h(n)来逼近hopt(n).实质为设计FIR型滤波器。 例题1： 2.3 维纳滤波器的z域解 求解的基本思想： 把x(n)加以白化来求维纳-霍夫方程的z域解. (这种方法是由波德(Bode)和香农(Shannon)首先提出的) 白化：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一物理网络所形成。 于是，求在最小均方误差下的最佳Hopt(z)的问题就归结为求最佳G(z)的问题了。我们可以对G(z)加以因果性或非因果性的约束具体求解。由于G(z)的激励源是将x(n)白化后得到的白噪声，这就使得求图2.7(b)中的最佳G(z)比求图2.7(a)中的最佳H(z)容易，（为什么白化的原因）得 ： 2.4 维纳预测器 2.4.1 预测的可能性 §2.5 卡尔曼滤波的信号模型——状态方程与量测方程 2.5.1 离散状态方程及其解 本章小结 1。掌握Wiener滤波器的作用－－噪声中信号的恢复（估计）。 2。掌握Wiener滤波器的设计原则－－保证估计结果的均方误差最小（正交原理）。 3。掌握Wiener滤波器设计实质及结果－－实质为解Wiener－Hofp方程，结果形式为单位冲激响应h(n)(时域)或系统函数H(z)（频域）. z=0.01*randn(1,150)-0.37727; xx(1)=-0.31; Q=0.000001; R=1; p(1)=0.02; s(1)= -0.37727; for k=2:1:150 s(k)= -0.37727; [例4] 设 为实离散时间随机过程，具有功率谱密度： 并已知 在k=0时开始观察信号 ，试用卡尔曼过滤的计算公式求 ，并将计算结果与维纳过滤方法计算(例1)的结果进行 比较(此例 与例1中的相同)。 [解] 从给定的 ，可以求得 的状态方程。因为 (参见§2.5，例3) 所以 又由于 所以 代入式(2.89)、(2.102)、(2.99)及(2.103)，得 (2.105) (2.106) (2.107) (2.108) 将式(2.106)代入式(2.108)，得 从式(2.107)与式(2.109)中消去 ，得 求稳态解，将式(2.110)中的 代入并化简，得 所以 (只取正值解) 所以 所以 由此可见，已知前一个估计值 与当前的量测值 ，就可以求得当前的估计值 。 2.4.3 纯预测器(N步) [例2] 已知 及 求 (1) 使均方误差最小的 (2) 最小均方误差 [解] 因为 所以 由式(2.63)得因果的维纳预测器，应有 因为 所以 对 只取上式中n0的部分，得 再回到z-域，得 代入Hopt(z)表达式，得 这个结果可用方框图表示在图2.11中。 图2.11 纯预测的例子 由式(2.65)得 它说明：N越大，误差越大，如果N=0则没有误差。 现在来解释上述疑问。我们是把 看成由白噪声通过B(z)产生的，而 故该信号模型可以用一个一阶差分方程来表达： 图2.12 一阶信号模型的例子 2.4.4 维纳预测器的时域解—— 一步线性预测公式 2.5.2 量测方程 图2.13 卡尔曼滤波的信号模型 (a) 多维情况； (b) 一维情况。 [例3] 仍沿用前面维