二面角的几何求法.ppt

* α β ι 学习目标： 1、知道二面角和二面角的平面角定义以及二面角平面角的范围。 2、熟悉二面角的常见作法：定义法、垂面法、三垂线法 3、掌握求二面角的一般步骤 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的定义: 复 习: 2、二面角的表示方法 A B ? ? 二面角?－AB－ ? ? ? l 二面角?－ l－ ? 二面角C－AB－ D A B C D A B C E F D 二面角C－AB－ E 1、定义 二面角的平面角: A B P ? ? l 二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围: [00 ，1800] 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 A1 B1 P1 注意: (与顶点位置无关) ∠APB= ∠A1P1B1 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。 V A B C 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。 V B C A 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。 V B C A 例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。 V B C A O 解：过B点作BO⊥VC于O,连接AO. 因为在正三棱锥中VA=VB,VO=VO,∠BVO=∠AVO.所以 所以AO⊥VC。所以∠BOA即为所求二面角的平面角。 在△AOB中，设AB=1，则AO=BO= 作角 证角 求角 定义法 探究准备 想一想： 1、还能用什么方法作出二面角的平面角？ （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。 A B C α β α β α β γ 例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。 S A E C B D 分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。 解：如图： ∵SA ⊥ 平面ABC, ∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA ⊥ BD; 于是SB= = a 又BC= a ，∴ SB=BC; ∵E为SC的中点，∴BE⊥SC 又DE⊥SC 故SC⊥平面BDE 可得BD⊥SC 又BD⊥SA ∴BD⊥平面SAC ∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ∵ AB⊥BC，∴AC= = = a 在直角三角形SAC中，tan∠SCA= = ∴ ∠ SCA=300 ， ∴∠CDE=900--∠SCA=600 解毕。 S E C A D 议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 垂面法 P A B C D 过B作BD⊥PC于D， 则∠BDE就是此二面角的平面角。 连结ED， 解：过B作BE⊥AC于E， E ∵△ABC为正△，∴ BE= 在Rt△PAC中，E为AC中点， 则DE= 在Rt△DEB中 tan ∠ BDE= 例3:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的正切值。 三垂线法 课堂小结： 1、二面角以及二面角的平面角的定义、范围。 2、二面角平面角的作法：定义法、垂面法、三垂线法 3、求二面角的步骤：作角-----证角--------求角 预习探究 如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1