二面角专题,空间距离专题,空间向量解立体几何专题含答案.doc

二面角 一、知识梳理 知识点一：半平面： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面； 二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 （这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面） 若棱为，两个面分别为的二面角记为；二面角的图形表示： 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 知识点二：二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线， 则叫做二面角的平面角 一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 （3）二面角的平面角范围是；？ （4）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 知识点三：二面角的类型和求法可用框图展现如下：　　　　　　　　　　　　 二、方法·技巧 技巧一：定义法求二面角：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 技巧二:三垂线定理法求二面角：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 技巧三:射影法（面积法）:利用面积射影公式,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角； 三、经典题型 题型一：用定义法求二面角 【例1】在棱长为的正方体中， （1）求二面角的余弦值； （2）求平面与底面所成二面角的平面角的正切值 解：（1）取中点，连接， ∵正方体，∴， ∴即为二面角的平面角， 在中，， 可以求得即二面角的大小为． （2）过作于点， ∵正方体，∴平面， ∴为平面与平面所成二面角的平面角， 可以求得： 所以，平面与底面所成二面角的平面角大小为． 说明：求二面角的步骤：作——证——算——答 【变式1】若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，,求二面角的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC的中点E，连接AE、PE AC=AB，PB=PC AE BC，PE BC 为二面角P-BC-A的平面角 在中AE=PE=，PA= =900 二面角P-BC-A的平面角为900。 【变式2】如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小 分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理 解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时， ∵ ∴ ∵ ∴面 同理，面 而面面 ∴面与面应重合 即在同一平面内， 则是二面角的平面角 在中， ∴ 在中， ∴ 故（图1）或（图2） 即二面角的大小为或 题型二:三垂线定理法求二面角： 【例2】已知：二面角且到平面的距离为，到的距离为，求二面角的大小 解：作于点，平面于点，连接， ∵于点，于点， ∴，∴即为二面角的平面角， 易知，， ∴即二面角的大小为． 【变式】已知是正三角形，平面且,求二面角的正切值。 解： 取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF 平面ABC，PA平面PAC 平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC BE平面PAC 由三垂线定理知BFPC 为二面角A-PC-B的平面角 ，设PA=1,E为AC的中点，BE=,EF= tan= =argtan 【例3】如图三棱锥 中，⊥平面， ，D是 BC的中点，且是边长为 2的正三角形，求二面角 的大小。 解：由已知条件，D是BC的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2 ∴ D是△ABC之外心又在BC上 ∴ △ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 ∠PAC =30° 【变式】如图，平面⊥平面，∩=，A∈，B∈，点A在直线上的射影为A1，点B在的射影为B1，已知，，，求： 二面角A1－AB－B1的正弦值. 作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥A B交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的 平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，故二面角A1－AB－B1的大小为arcsin. 技巧三:用射影法（面积法）求二面角 【例4】如图所示，已知面，，二面角的平面角为， 求证： 证明：过作的垂线，垂足为，连接 ∵平面，平面， ∴ ∴为二面角的平面角， 即 ∵面 ∴ ∵是直角三角形 ∴ 又∵ ∴