优秀论文一.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 水量计算问题 摘要 辐射井在水源开采方面应用甚广，是开发浅层地下水的理想井型。本文针对辐射井的特点进行深入的研究，建立了地下水降落曲线公式和辐射井水量计算模型。 针对问题一：首先，我们根据降落曲线的形状，将曲线分为前半部分和后半部分。然后，通过查阅相关水动力学理论，根据辐射井作用下的地下水运动规律，我们决定采用两种方法计算降落曲线的前半部分：第一种为经验公式，第二种为抛物线公式；对降落曲线的后半部分，由于形状类似普通大井的降落曲线，因此我们结合裘布依公式进行推导，得出降落曲线公式。 针对问题二：我们首先将辐射井视为普通大井，用等效大井法，结合一般大井计算水量时使用的裘布依公式进行推导，建立水量计算模型。但考虑到辐射井的地下水收集能力明显高于普通大井，直接等效大井会产生误差。因此，我们又结合势流理论和映射法，在不考虑渗透系数和影响半径改变的前提下，根据辐射井在平面上的分布的均匀性和对称性，计算其中一根辐射管的集水量，然后通过推广，得到整个辐射井水量的计算模型。 针对问题三：第一步，我们将题中不同时间测得的两个观测孔水位高度的数据，代入到降落曲线公式中，计算得到理论上的井位水高。然后将得到的理论的井位水高与表中给出的实际的井位水高数据计算相对误差，通过比较相对误差，我们认为前半段曲线用经验公式较好，并用修正系数对两段公式进行了修正和整合。最后将二维的降落曲线推广为三维的降落曲面。 第二步，我们利用已经求得的两个辐射井水量计算模型，计算出涌水量随降深变化得到的理论值。再将得到的理论值与题目所给实际涌水量对比，计算出相对误差，通过比较误差，我们认为基于势流理论的映射法拟合效果优于等效大井法。最后决定采用映射法作为辐射井的水量计算模型。 最后，我们对模型中有些局限之处进行了改进，并进行了推广和应用。 关键词：辐射井；降落公式；裘布依公式；映射法； 问题的提出和重述 1.1问题提出 辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。 辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。 1.2问题重述 问题一：设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。 问题二：建立辐射井水量计算模型。 问题三：利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。 问题的分析 2.1地下水降落曲线 降落曲线的定义为：渗透水流沿流向因摩擦损失，不断产生水位下降，所以潜水面和承压水的测压水面总是带有一定坡度的曲面。曲面与沿流向方向的剖面相交的曲线，称降落曲线。 由题可得，地下水的降落曲线主要有两部分组成，在辐射管延伸范围内的为凹形的抛物线。在辐射管延伸范围外的为凸形的抛物线。因此，第一步，可查找相关文献，寻找是否有现成的、较成熟的计算公式。第二步，自行根据曲线的形状，假定曲线满足某一种曲线的方程。然后从数学角度出发，根据此种曲线方程的性质，设立方程，推导公式。 2.2辐射井水量模型 辐射井可看成井的一种，因此若将辐射井近似成一般大井，参考计算一般大井的裘布依公式，则可以推出涌水量的公式。但若考虑到辐射井的地下水汇集效率比一般的大井高，则可直接从辐射井出发，用映射法将立体的集水问题转化为平面问题，再结合势流理论进行推导。由于辐射井在平面上的分布是均匀并且对称的，因此只需研究一根辐射管对应的扇形区域，算出其中一根辐射管的汇集水量，即可推广到整个辐射井的涌水量。 2.3对降落曲线模型检验 根据题目给的数据1，分别求出两段降落曲线公式中未知的量。然后，利用得到的公式预测一部分值，并与数据中的值对比，通过计算相对误差判断曲线的拟合程度。由于在前半段中使用了两种方法，因此可用相对误差的大小比较两种方法的优劣。最后，根据检验的结果对模型进行修正，得出最终降落曲线，并推广得到曲面方程。 2.4对辐射井水量模型的检验 根据前面已建立的两种计算辐射井水量的模型，分别计算单位时间涌水量。然后，利用题目所给的数据2，分别计算两种不同模型与实际数值的相对误差值