北京市朝阳区2015届高三第一学期期末数学(理).doc

北京市朝阳区2014-2015学年度第一学期高三期末数学 （理工类） 2015．1 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为 A． B． C． D．无法确定 3．设函数的图象为，下面结论中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．函数在区间上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A． B． C． D． 5．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，，则的最大值是 A． B． C． D． 7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A． B．3 C． D．2 8．设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ． 10．双曲线的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组，表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为 ． 12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间． 13．在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数．下列命题： ①函数既有最大值又有最小值； ②函数的图象是轴对称图形； ③函数在区间上共有7个零点； ④函数在区间上单调递增． 其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次，，，，，绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在岁的人为“青年人”，为“中年人”，为“老年人”. （Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 1 6．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动． （Ⅰ）若为中点，求证：//平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由. 17．（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”． （Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且是首项为1，公比为2的等比数列，求的所有项和； （Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，. 18．（本小题满分13分） 设函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过