07年高考圆锥曲线探索性型问题分类例析.docVIP

07年高考圆锥曲线探索性型问题分类例析 电子邮箱周友良 zyl2518006@126.com,手机号QQ;406426941 湖南祁东育贤中学 周友良 汪美云 421600 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程． 探索性问题是近几年高考的热点问题之一，本文通过几个例子探讨圆锥曲线探索性型问题的解法。 一、圆与椭圆综合问题中的存在探索型 例1(广东文19) 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆与直线相切于 坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为． (1)求圆的方程； (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点使, 整理得 代入 得: , 因此不存在符合题意的Q点. 评析：本题考查待定系数法求圆方程和第一定义法求椭圆方程，借助圆的参数方程根据题目中的假设得到关于变量的方程，从方程是否有解这一角度来解决此探索性问题。 二、双曲线中的存在探索型 例2（湖南理20）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点． （I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由条件知，，设，． 解法一：（I）设，则则，， ，由得 即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． （II）假设在轴上存在定点，使为常数． 当不与轴垂直时，设直线的方程是． 代入有． 则是上述方程的两个实根，所以，， 于是 ． 因为是与无关的常数，所以，即，此时=． 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，， 此时． 故在轴上存在定点，使为常数． 解法二：（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是． 代入有． 则是上述方程的两个实根，所以． ． 由①②③得．…………………………………………………④ ．……………………………………………………………………⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ．整理得． 当时，点的坐标为，满足上述方程． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 故点的轨迹方程是． （II）假设在轴上存在定点点，使为常数， 当不与轴垂直时，由（I）有，． 以上同解法一的（II）． 评述：本题考查向量在圆锥曲线中的运用和存在性问题。用“点差法”和“设而不求”的方法处理中点弦是解这类题的好方法。 相关知识点：（1）涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题，主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）. （2）涉及到圆锥曲线焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义），应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法. 三、抛物线与圆综合问题中的存在探索型 例3（湖北文21）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点． （I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值； （II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设， 直线的方程为，与联立得消去得． 由韦达定理得，． 于是． ， 当，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为， 设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为， 则，点的坐标为． ， ， ， ． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ， 又由点到直线的距离公式得． 从而， 当时，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程