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3．3等差数列的前项和（1） 黄冈中学 潘际栋 一．教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题． n项和公式的理解、推导及应用 三．教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题． 1．等差数列的通项公式 2．在等差数列中若， 则 ． 今天研究的问题是：根据等差数列的首项（或第项），项数，公差，求前和，先看例子： 1．高斯小学巧算 1+2+3+4+…+100． 2．一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？ 3．箱子里有101粒珠子，甲、乙两人轮流从箱子里取珠，每次取1-9颗珠子，谁取到最后一颗珠子，则此人获胜．现甲先取，乙要想获胜，他应采取什么样的策略？ （二）新课讲解： 1．等差数列的前和： （1）问题：在等差数列中首项，公差，求……+． ……+……+ ……+…… ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴． （2）等差数列的前和的求和公式：． 说明：（1）在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个．当已知首项，末项，项数时，公差时，用公式；当已知首项，项数，公差时用公式． （2）， 设 ，上式可写成，当（即）时，是关于的二次函数式（常数项为0），那么在二次函数的图象上（而其通项是直线上一群孤立的点）． （3）由可得到结论：当时，有最小值；当时，有最大值； （4）数列为等差数列的充要条件是前项和（为常数）． 2．例题分析： 例1．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 这位长跑运动员7天一共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为，其中=7500，=10500． 根据等差数列的前项和公式，得 答：这位长跑运动员7天一共跑了63000米 例2．等差数列，，，，……前多少项的和是？ 解：设题中的等差数列为，前项和是， 则，，， 则， 所以，，（舍）． 答：等差数列，，，，……前项的和是． 例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和． 解：由，得，故集合中的元素共有14个，将它们从小到大列出，得， ，，，……，． 这数列是等差数列，共有项，记为，其中，， 所以，， 答：集合共有14个元素 ，它们的和等于． 例4．设等差数列5，，第项到第项的和为，那么取最小值时，求的值． 解：按题意，可得，由， ，时，取最小值． 六．课堂练习：1．课本练习，． 2．（1）在等差数列中，若，求（答案：）； （2）在等差数列中，前10项和是前5项和的4倍，求︰= （答案：1︰中，，，求 （答案：）． 七．课堂小结：1．能推导等差数列的前项和的两个公式； 2．掌握等差数列的前项和的两个公式； 3．会初步运用等差数列的前项和的两个公式． 八．课后作业：习题3．3 第1，2，3题 九．板本设计： 课题 公式： 推导过程 例题 十．本节课外拓展 背景知识与课外阅读 　　我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念． 　　到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法．他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题． 　　例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？” 原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得．”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式 　　再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？” 　　书中给出了计算公式 ，这个公式等价于现今中学课本里的公式： ．