050714班高等数学第三学期期中测验解答.docVIP

050714班《高等数学》第三学期期中测验解答 得分 一、填空题（每小题2分，共14分） 1、 若均为可逆矩阵，则 。（） 2、若维向量组{}线性相关，那么向量组内（ ）可以被其余向量线性表出。（至少有一个向量） 3、设是矩阵，是矩阵,是矩阵,则是 ( ) 矩阵。（） 4、齐次线性方程组有非零解时，它的基础解系中所含向量个数等于（ ）（n-） 5、次数不超过的多项式的全体 向量空间。（构成） 6、设是3阶矩阵，且 则_______。, 则与相对应的二次型是________________。) 得分 二、 计算题（每小题10分，共70分） 8、（1）已知, , 求。 （2）已知，求。 解：（1） （2）由于所以故 ， 9.求行列式 ，，其中为阶方阵 ， 。 解：利用范得蒙行列式的计算公式，得 10、利用分块矩阵求其中。 解：.(祥见书P69例1) 11、试用拉格朗日配方法化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵。 解： 令 于是变换的矩阵表达式为： 12、设的一组基为,试利用Schmidt正交化方法将化为中的一组标准正交基。 标准正交基为 13．求矩阵的特征根与特征向量。 解：由 得特征根。 当特征向量为不同时为零。 当特征向量为不为零。 14、取何值时。方程组 无解，有唯一解，有无穷多解？并在无穷多解时求出其通解。 解： 所以时，无解，时，无穷多解。时，有唯一解。 时， 方程的通解为其中 得分 三、证明题（第1小题6分，第2小题10分，共16分） 15、设为阶实对称矩阵, 为阶正交矩阵, 证明为阶实对称矩阵。 证明: 由已知条件得 于是 因此为阶实对称矩阵. 16、证明:设向量能用向量组线性表出，且表示式唯一，试用反证法证明向量组线性无关。 证明：设向量组线性相关，即存在不全为零的数使 又由已知条件，得 （1）+（2），得： 由于不全为零，所以的表达式（2）和（3）不同，此与条件矛盾，故假设错误，向量组线性无关。 附加题 1、设矩阵和满足关系式，其中，求。 解： 而，故。 2、设向量组 ，，，， (1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性； (2)求向量组的一个极大线性无关组； (3)用已求出的极大线性无关组把其余的向量线性表示。 解： 取 对进行初等行变换得: (1),故线性相关. (2) 向量组的一个极大线性无关组. （略） (3) 若取极大线性无关组时 有: 6