绪论：数学--探求模式[初中数学 数学问题与模式探求].docVIP

绪论 数学——探求模式 　　(量化)模式，所以数学也是研究模式的科学，它涉及模式的观察，猜测的检验以及结果的估计。例如，人们对勾股定理的认识过程就经过一个探求模式的过程。在我国最早详细记载勾股定理的首推《周髀算经》，它大约写于公元前235年至公元前145年之间。书的开篇就以商高回答周公问题的形式提出：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘得三、四、五，两矩共长二十有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所由生也。”他所说的是，一条线段分成3∶4∶5所构成的三角形是直角三角形，这样的三角形内接于圆且弦为直径，同时还有等式32＋42 =52成立(见图 1)。这说明商高通过观察个别直角三角形勾、股、弦之间的量值关系，已经发现了勾股定理的特殊情况。《周髀算经》又在“陈子曰”下说：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日。”这就是说， 　　上式就是勾股定理的一般形式。它说明陈子已通过观察特殊的一些直角三角形的勾、股、弦之间的量值关系，发现了一般规律，从而提出了上述的勾股定理。 　　(公元3世纪三国东吴人)在《周髀算经》注中所撰写的《勾股圆方图注》为最早。赵爽画了一张他所谓的“弦图”(图3)，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。由于四个朱实加上一个黄实就等于弦实，所以有下式成立： 　　即 a2＋b2＝c2。 　　这样，赵爽就用割补法证明了勾股定理。 　　3、4和5的直角三角形外，是否还有其他的三边长都是整数的直角三角形呢？ 　　 5、 12、 13； 7、 24、25；8、15、17；20、21、29；…。 　　x、y、z分别表示勾、股、弦，那么用代数的语言来说，以上各组数都是不定方程 x2＋y2=z2 的整数解。满足这个不定方程的整数解(x、y、z)就叫做勾股数。 　　刘徽不仅举出了不少勾股数，而且用出入相补原理证明了勾股数的一般形式是 2mn，n2-m2，n2+m2， 　　n ，m(n＞m)是任意整数(在古希腊差不多与刘徽同时的数学家刁番都也独立地证明了这一结果)。这就解决了不定方程x2＋y2=z2的整数解问题。然而，人类对模式的探求永远也不会中止，1637年，法国数学家费尔马对上述问题，也就是将一个平方数分为两个平方数的问题，发生了兴趣。他进一步地探求，能否将一个三次方幂分为两个三次方幂之和， 将一个四次方幂分为两个四次方幂之和，或者更一般地将一个n次方幂分为两个n次方幂之和？他在刁番都著作《算术》拉丁文译本的空白处写了一段简短的笔记，给出一个否定的结论：“不可能把一个正整数的三次方幂分成两个三次方幂的和，一个四次方幂分成两个四次方幂的和；或者一般地说，不能把任意一个次数大于2的正整数的方幂分成两个同次方幂的和。”接着他又写道：“我发现了这个论断的证明，但是书上的空白太窄了，写不下。”这就是著名的费尔马猜想。这个猜想可以用不定方程表示：设n＞2，不定方程 xn+ yn ＝zn 　　xyz= 0外没有其他整数解。费尔马关于这一猜想的证明(如果真有的话)从未被人找到过。三百多年来，许多数学家都曾为求得其证明而努力。人们开始只能对于许多给定的n来证明费尔马猜想成立，贝西(1605—1675)利用费尔马的提示给出了 n= 4的证明，后来瑞士数学家欧拉( 1707—1783)又证明了n= 3的情形，1857年德国数学家库默尔(1810—1893)创立了理想数理论，证明了对于小于100的奇素数，费尔马猜想成立。他所建立的理想数理论为代数数论奠定了基础，成了许多数学分支的重要工具。对费尔马猜想的最终证明虽然难度极大，但是，人们相信，随着现代数学理论的发展，这个堡垒必将会被攻破。 　　1993(A wiles)从椭圆曲线的方向来证明费尔马猜想，论文发表以后，人们发现了在他的证明中有一个小漏洞。1994年9月威尔斯和另一位数学家泰勒(R Taylor)弥补了这个漏洞，最终完成了费尔马猜想的证明，数学家们梦寐以求的目标终于达到了。 　　(包括发散性思维能力，集中性思维能力和人的个性品质等)和调控能力(包括问题解决时解题策略的选择，整个过程的组织和思路的调整等)，从而提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。在当今的信息时代，应用这些数学思维方式的经验所构成的能力已成为一种日益重要的智力，它使人们能吸收新的想法，适应各种变化，对模棱两可的事件能发现模式并能解决非常规的问题。 　　在学习探求模式的过程中，我们也必须注意到，人们探求模式的最终目的还是为了应用。早在《周髀算经》中曾记载陈子利用勾股定理求出从地面一点到太阳的距离。据传说古埃及人在建筑宏伟的金字塔时也用过勾股定理。当今随