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求切线方程中一个值得注意的问题 奉港高级中学（315500） 杨亢尔 人教社试验修订本第三册（选修Ⅱ）“导数的概念”一节指出，利用导数的几何意义，可求得曲线上某一点处的切线，但如要求过点的切线，情况又如何呢？请看下例： 例1 设函数，过曲线上的点的切线方程为，若函数在时有极值，求的表达式（2004年全贴近冲刺卷（六）21题第（1）小题）。 提供的参考解答是这样的： 解 由题意得 ，解得 。 这样的解法完整吗？请看下例： 已知曲线上一点，求经过点的切线方程（教材P114例3改编）。 我们先套用上述解法： 由得切线斜率，故所求切线方程为，即。 以上两题解法都是不完整的！事实上，经过曲线上某点作曲线的切线，则该点可能是切线的切点，也可能不是切点。在例2中，如图，若为所求切线的切点，则切线方程如上所求；若不是切点，设切点为，则切线的斜率， 又，且，于是 解之得 切点为，此时切线方程为，故所求切线方程为和。 对于例1，易知，类似地，若不是切点，设切点为，∵ 可得 ① ② ③ ④ 根据上述方程组难以确定是否有解，我们采用以下方法： 联立 ⑤ 由曲线与直线的公共点情况可知方程⑤等价于即 ⑥ 上述方程⑤、⑥等价，于是 ， 由于，因此这样的无解，也就是说，过曲线上的点的切线只能以点为切点，由上可知的表达式为。 由以上两例求解过程可知，对于曲线及曲线上某点，点处的切线与过点的切线是两个不同的概念，求曲线的切线，应先判定该点是否为切线的切点，若是，切线的斜率就是函数在点处的导数；若否，应先求出切点，再求切线方程。 作为本文的总结，我们再给出以下两题供读者参考： 求曲线在点处的切线的方程（2004年高考数学试题浙江卷20题第（1）小题）。 （第1题） （第2题） 已知曲线上一点，求经过点的曲线的切线方程（2004年宁波市联考试题第17题）。 （参考答案1．；2．和。解略） 1 P P y x o y x M Q P o Q y x o