曲线和方程概念解析及运用.docVIP

《曲线和方程》概念解析及运用 黄建光 【】“”是高中数学数形结合思想的完美体现，它对解析几何的教学有着深远的影响。同时，在教学过程中，《曲线和方程》概念的解析比较理论化、抽象化，学生在掌握过程中有一定的困难，故在教材对概念解析的基础上，本文从多个角度，多个层次来剖析此概念，使概念更加系统、清晰、明朗，同时通过概念的解析，本文有介绍了两个作用在具体解题中的应用。 【】“曲线和方程”是几何中的“形”与代数中“数”的统一，是“静止”的曲线与“运动”的点的对立和统一。把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法。同时，“曲线和方程”是高中数学数形结合思想的完美体现，这对解析几何的教学有着深远的影响。 一、新教材高二（上）指出：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f (x, y) = 0 的实数解建立了如下的关系： 1、曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 同时，强调指出：条件①阐明了曲线上的所有点都适合这个条件而无一例外，表示曲线具有纯粹性，或者说方程具有完备性。也就是说曲线上不存在哪一个点的坐标不是方程的解,曲线上的所有点没有掺假这个方程的解为坐标的点没有哪一个不在曲线上,即曲线没有漏掉一个以方程的解为坐标的点f (x, y) = 0的解为坐标的点记作集合B,那么条件①说明，条件②说明，两条件合起来就是A = B，这时才能说明曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，方程f (x, y) = 0是曲线C的方程。 我们亦可选用充分条件、必要条件及充要条件的角度来考虑问题：由条件①可知，曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的充分不必要条件；由条件②可知曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的必要不充分条件；只有条件①②同时成立，我们才能说曲线C上的点的坐标是方程f (x, y) = 0的解的充要条件。 最后,我们还可选用映射的角度来考虑问题:在平面中建立直角坐标系,那么平面上的点M与实数对（x,y）就建立了一一对应的关系。点的运动形成了曲线C，与曲线C相对应的为实数对（x,y），在实数对中x与y的约束关系就形成了方程f (x, y) = 0，对应关系如下： 点M 按某种规律运动 曲线C 坐标（x,y） x,y的制约条件方程 f(x, y)=0 条件①说明曲线上的点的坐标到方程f(x, y) = 0的解的对应能构成一个映射,对于任意的曲线C上的点都有；条件②说明方程f(x, y) = 0的解为坐标的点到曲线上的点的对应也能构成一个映射,即对于满足方程f(x, y) = 0任意的一组解为坐标的点肯定落在曲线C上(任意的一组解满足方程)。结合一一映射的概念：是从集合A到集合B是映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做集合A到集合B的一一映射。由上面分析可得，只有同时具备了条件①和条件②，曲线C上的点的坐标才与方程f (x, y) = 0的解之间构成一一映射。 以上我们从不同的角度来分析了曲线和方程的概念，这个概念的实质是一一对应,即作为曲线C的点集和方程f (x, y) = 0的解集之间的一一对应,二者缺一不可。这一对应关系即可通过方程研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景。 通过曲线和方程概念的讲解，我们就可应用它的两个作用。 1、判定作用 要判定或证明方程f (x, y) = 0是曲线C的方程，曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，只要判定它们之间是否都满足条件①②，或者证明条件①②都成立。 2、性质作用 如果已知方程f (x, y) = 0是曲线C的方程，曲线C是方程f (x, y) = 0的曲线，那么定义中条件①②就是性质，即条件①②都成立。更进一步而言，我们就可通过曲线的方程来研究曲线的几何性质。 二、由于曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，在教学过程中，我们可结合具体的例子以及多个角度来考虑问题，使学生彻底弄清曲线和方程的内在联系，从而归纳出曲线和方程的一般概念，强调两个条件缺一不可。下面我们可用具体问题来加深概念的理解： 例1、以下方程分别表示的是图中的哪一个图像，为什么？ 变形１： Ａ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件①而不符合条件②。 Ｂ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系符合条件②而不符合条件①。 Ｃ、请找出一个方程与曲线，使它们之间的关系既符合条件①又符