如果一条直线和两个平面中的一个相交.docVIP

531. 如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交. 已知：α∥β,l∩α＝A. 求证：l与β相交. 证明：∵α∥β,l∩α＝A ∴Aβ. 假设l与β不相交，则l∥β 在平面β内任取一点D，则Dl. ∴点D、l确定平面PBD，如图 ∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC， β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD. 又α∥β ∴AC与BD无公共点. ∵AC和BD都在平面PBD内， ∴AC∥BD. 由l∥β可知l∥BD. ∴AC∥l且l与AC相交于A. ∴AC与l重合，又AC在平面α内. ∴l在α内与l∩α＝A矛盾. ∴假设不成立， ∴l与β必相交. 532. 如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长. 解析： 要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理. 作PM∥AD交CD于M连QM，∵PM∥平面SAD，PQ∥平面SAD. ∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD. ∴QM∥SD. ∵BC＝a,SD＝2a. ∴＝. ∴＝＝,MP＝a, ＝＝＝. ∴MQ＝SD＝a,又∠PMQ＝∠ADS. ∴cos∠PMQ＝cos∠ADS＝＝. 在ΔPMQ中由余弦定理得 PQ2＝(a)2+(a)2-2·a·a·＝a2. ∴PQ＝a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强. 533. 已知：如图，α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH∥平面α. 证明 (1)∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD.∴FG∥EH.∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、H、G共面. (2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′∴α∥β，∴ AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，EH∥平面β，同理FG∥平面α，FG∥平面β. ∴平面EFHG∥平面α∥平面β. 534. 点A为异面直线a、b外一点，过A与a、b都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个 解析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空间想象能力 解法一：过点A作a′∥a,b′∥b，根据公理3，a′与b′确定一个平面为α，则异面直线a与b至多有一条在α内，当a、b都不在α内时，过A与a、b都平行的平面恰有一个，即α；当a、b中有一条在α内时，过A与a、b都平行的平面不存在，故选C. 解法二：过异面直线a、b分别作平面α、β使α∥β，若点A在α或β上，则过A与a、b都平行的平面不存在；若点A在α外且在β上，则过A恰有一个平面平行于α、β，则过点A与a、b都平行的平面恰有一个. 535. 有四个命题 (1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行 (4)如果直线a∥平面α，a平面β，且α∩β＝b,则a∥b. 其中假命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行，也可能异面，故(2)也是假命题，又平行于同一平面的两条直线，也可能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题，也是线面平行的性质定理.故选C。 536. 已知直线a、b、c，平面α∩平面β＝a,bα，cβ，且b与c无公共点，则b与c不平行的充要条件是( ) A.b、c都与α相交 B.b、c中只有一条与α相交 C.b、c中至多一条与α相交 D.b、c中至少有一条与α相交 解析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力. 解法一：若直线b与c不平行，又由b与c无公共点，则b与c必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b与c都与a相交，或者b、c中有一条与a相交，另一条与a平行，即b、c中至少有一条与α相交，即D成立；反之，当D成立时，不难证明b与c必不平行，所以应选D. 解法二：由题设及异面直线的定义