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三角函数性质问题常见错解剖析 陕西宝鸡市教育局教研室(西关宝中路付1号电大院内) 邮编: 721001 李居强 邮箱：laoli196955@ 电话在解决三角函数问题时，由于部分学生对三角函数的概念理解不到位，对三角函数的多值性、增减性、奇偶性、最值等理解不深，经常会出现错误．本文就学生在解决三角函数性质问题时，常见的错解类型试作剖析。 一、确定单调性时出错 例1 求函数的单调增区间. 错解 令，则， 而函数在区间上递增， 整体代换得：， 解得：，， 由于表示的是周期的整数倍，所以可写为：，． 即所求的单调递增区间为． 剖析 要全面地根据内、外层函数的单调性来确定复合函数的单调性或单调区间. 正解 令，则内函数是关于的减函数，那么所求复合函数的单调增区间即要取外函数的单调减区间去求解，即，即，，解得：，，由于表示的是周期的整数倍，所以可写为：，，即所求的单调递增区间为． 例２ 函数和在第一象限分别是（ ） A.增函数，减函数 B.减函数，增函数 C.增函数，增函数 D.以上都不对 错解 由于正弦函数在区间上为增函数,而余弦函数在区间上为减函数可知，正弦函数在第一象限是增函数，而余弦函数在第一象限是减函数．故应选（Ａ）． 剖析 混淆了象限角和区间角的概念，把区间与第一象限混为一谈等等，这些都是部分学生经常犯的错误. 正解 由于同在一个象限的角不一定都在所求函数的一个单调区间上，即在某一象限内无法确定函数的单调性．应选（D）. 二、判断函数奇偶性时出错 例3 判断函数的奇偶性． 错解∵，∴．即函数为奇函数． 剖析 判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间．上述错解的原因：一是没有考虑原函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形，没有考虑的要求． 正解 ∵，∴，解得,且．可见已知函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数． 例4 函数是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数 错解函数的定义域为,又， ，所以选（Ｄ）． 剖析 含有运算式或不是最简形式的函数式，只从形式上或结构上用定义判断其奇偶性就入了误区. 正解 由于,即函数解析式可化为，，即．所以函数为偶函数，应选（B）． 三、确定最小正周期时出错 例5 求函数的周期. 错解 ∵， 而，，∴函数的周期为． 剖析 此解题过程没有分析是否是该函数的最小正周期，导致答案出错. 正解 ∵， 而，，并且是满足的最小正数．∴函数的周期为． 四、求最值时出错 例6 已知，求的最小值和最大值. 错解 由得，即 ．所以此函数的最小值为，最大值不存在. 剖析 盲目套用二次函数求最值,没有考虑三角函数的有界性. 正解 令，又，将函数解析式化简为，（）.所以当时,函数有最大值7；当时，函数有最小值. 例7 已知，求的最大值和最小值. 错解 由于,得函数的最大值为，最小值为． 剖析 忽视了角的范围，即函数的定义域，盲目套用三角函数的有界性． 正解 由于，，，据正弦函数在区间上的图象和性质可得出：已知函数的最大值为，最小值为．