三角形的总复习.docVIP

三角形总复习 ?一、三角形的边与角 三角形是常见的几何图形之一，从自然景观到微型模型，从建筑物到艺术作品处处可以找到三角形的实例．同时，三角形又是一种基本的几何图形，是学习和研究其他复杂图形的基础，如在本章中，学好三角形的有关概念和性质是进一步学习多边形的知识不可缺少的基础． 三角形有着丰富的内涵：三角形的三边互相制约，根据三角形三边关系可以判断三条已知线段能否组成三角形，已知两边确定第三边的取值范围等等；三角形的内角和定理及外角的性质反映了三角形角之间的关系，利用它们可以求角的度数，判断角之间的大小关系；三角形的边与角之间也有密切的联系，如：大边对大角、大角对大边等．利用三角形的这些性质，可以解决线段及角的计算，判断大小、图形的计数等几何问题． 解决三角形的边与角的有关问题时，通常要用到分类讨论、方程思想、整体与转化思想等数学方法． 熟悉以下三角形中常见的基本图形和结论： ∠A+∠B=∠C+∠D △ABC的角平分线交于内部一 点O，有 △ABC两外角平分线 △ABC的内角平分线延长 交于外部一点O， 线与外角平分线交于O点， 有 有∠A=2∠O 典例精讲 例1 如图所示△ABC中，∠A=60°，∠B、∠C的外角平分线交于F点，求∠BFC的度数． 方法指导：经分析可知，欲求∠BFC，须求∠1、∠2的度数．但求∠1、∠2的度数较困难，可将∠1+∠2看作一个整体，求出两角之和即可． 解：∵BF、CF是△ABC两外角平分线， ∴， ∴． ∵∠DBC=∠A+∠4，∠BCE=∠A+∠3， ∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠4+∠3+∠A． 又∵∠A=60°，∠4+∠3+∠A=180°， ∴∠DBC+∠BCE=240°， ∴， ∴∠BFC=180°—（∠1+∠）=180°—120°=60°． 方法总结：此题的关键是将∠1+∠2看作一个整体，从全局着手，则解题思路豁角开朗，柳暗花明． ? 例2 在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于点O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数． 方法指导：锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高的交点与直角顶点重合，钝角三角形三条高交于三角形外一点，题中“O不与B、C重合”，故应分锐角三角形、钝角三角形两种情形分类讨论． 解：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图（1）所示． ∵BE、CF为△ABC的高， ∴∠AFC=∠AEB=90°． 在Rt△ABC中，∠1=180°—∠A—∠AFC=180°—90°—50°=40°． ∴∠BOC=∠1+∠BEC=40°+90°=130°； （2）当△ABC为钝角三角形时，如图（2）所示， ∵BE、CF为△ABC的高， ∴∠AFC=∠BEC=90°． 又∵在Rt△OEC中，∠BOC+∠OCE=180°—∠OEC=90°， 在Rt△AFC中有：∠A+∠ACF=180°—∠AFC=90°， ∴∠BOC=∠A=50°． 方法总结：当所研究问题的图形位置不确定时，需用分类讨论法来解答． ? 例3 如图所示，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠BAD=α，则∠EDC=∠（ ） A． B． C． D． 方法指导：观察图形可知：∠EDC+∠1=∠B+α，∠2=∠EDC+∠C；又由题中条件可知，∠1=∠2，∠B=∠C；综合上述条件设法建立关于∠EDC的方程． 解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠2是∠DEC的外角， ∴∠ADC=∠B+α，∠2=∠EDC+∠C， 设∠EDC=x°，则有：∠1+x=∠B+α，∠2=x+∠C． 又∠1=∠2，∴x+∠C+x=∠B+α． 又∵∠B=∠C，∴2x=α，即．选A． 方法总结：当图形涉及的角较多，角之间的关系较复杂时，运用方程的思想建立有关方程，则使解题思路清晰化，有助解题方法的获得． 二、多边形的边、角及对角线 ? 多边形的边、角的定义与三角形类似，其对角线是将多边形问题转化为三角形问题的一个重要工具，从n边形的一个顶点出发可引（n—3）条对角线，把多边形分成（n—2）个三角形，n边形共有条对角线． 多边形的内角和定理反映了边数与角之间的关系，利用它求内角和或边数实质是解一元一次方程；而多边形的外角和恒为360°，因此常常将多边形的内角问题转化为外角来解决． 将多边形问题转化为三角形问题解决，是解多边形问题的一个基本思路，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法． ? 典例精讲 例1 如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 方法指导：图中所求和的七个角比较分散，可利用外角的关系将它