神奇的MORLEY定理.docVIP

神奇的Morley定理 陳幼淇 1904年發現的，內容如下：將任意三角形的三個角三等分，每兩條相鄰於同一邊的三等分線分別交於點X、Y、Z，則△XYZ必為正三角形。 關於Morley定理的証明，目前已有相當多不同的方式，在觀察與比較之後，我們選擇Conway與J.M.Child所提出，幾何意味較濃厚的兩則證明，由於篇幅過長，便不在此多做說明，而將兩篇證明附在最後(請見附一、附二)。 二、研究目的 將Morley定理的範圍向外推廣，不只在任意三角形中可以簡單的找到正三角形，也希望在其他多邊形，甚至是立體的四面體、多面體之中，也可以用簡單的分角線、角等分面來創造出正多邊形或多面體。 三、研究器材 電腦、紙、筆、GSP作圖軟體、photo impact 四、研究過程或方法 (一)一開始我們先從了解Morley這個人開始，Frank Morley提出後的十五年，才有人為他寫出證明。在正方形ABCD中，各為之三等分角線 在與中， 在中，
同理， 在中， 同理， 在中， 同理， 四邊形EFGH中， 又 ∴EFGH必為正方形 c.菱形 → 矩形 證明： 如圖二， 令 為一菱形 同理，皆為。 在四邊形EFGH中， 為一矩形 c. 長方形 → 菱形 證明：如圖三， 令 又 在中，α=β ∴為等腰三角形 →E位於的中垂線上 同理，F,G,H分別位於的中垂線上 並且，的中垂線即為的中垂線 的中垂線即為的中垂 ∵四邊形EFGH的對角線 又 ∴EFGH必為菱形 另外的發現：若矩形ABCD的邊長比為，則E、G(或F、H)為同一點，即此圖形無法內接出四邊形。 原因：當矩形內的四個角都為，、。時，其對角線也與矩形的邊夾、，在與中， 同理， 在與中， 為等腰三角形，為之角平分線 ∴ 同理， ∵, ∴// 在四邊形EFGH中，且// 得證，EFGH為一等腰梯形。 e.等腰梯形→鳶形 證明：如圖五， 令 又 同理 在中，α=β 在中， 中， 同理可證，。 在四邊形EFGH中， 得證：EFGH為一鳶形。 f.平行四邊形→平行四邊形 證明：如圖六， 在△AED與△CBG中， ∵ ∴△AED△CGB 。 在△ABF與△CDH中， ∴△ABF△CDH。 在△BFG與△DHE中， ∴△BFG△DHE 同理△AEF△CHG 在四邊形EFGH中， 得證：EFGH必為平行四邊形。 (四)除了在平面上對多邊形做角平分線外，在立體方面，也試圖在四面體中作各夾角三等分面。由於角平分面表示與判斷的困難性，目前只能確定在正四面體中，可以經由角平分面間的相互關係找出另一個較小的正四面體。 如圖七： 對平面BCD而言， 最接近的角三等分面有CQD、BSD以及三等分面ABC 與面BCD其中一面。這三張平面會交於一點，並經由對稱性得知，此點位於上述的中垂線交點，即圖七中的點G。根據以上作法發現，點G到平面BCD有固定長度，又由正四面體的對稱性，另外可作三點分別與平面ABC、ABD、ACD等距。而以此四點為頂點所連出的四面體也必為正四面體。 五、研究結果 a.正方形→正方形 b.菱形→矩形 c.矩形→菱形 d.鳶形→等腰梯形 e. 等腰梯形→鳶形 f.平行四邊形→平行四邊形 綜合以上各點發現，當原始圖形為特殊四邊形時，每個三分角線產生的新四邊形M與原四邊形N之間，有循環關係(M→N，N→M) 六、討論 在新四邊形N中再做一四邊形P，P與原四邊形是否相似？ 試使用120°--90°--60°--90°的鳶形做為原始圖形探討：此圖形中相似的情形並未發生(只能得到相同類別的圖形)。（判斷是因為特殊四邊形中帶有的條件雖可以讓圖形中重複出現一些邊、角性質，但想要造成相似重複卻還需要很多條件，如各邊長的比例等等） 七、結論 在角度與邊長之間本身具有特殊關係的多邊形中仿Morley作功，容易因為原四邊形內做出的小三角形彼此相似或全等，而產生也具有特殊性質的新內接多邊形。所以若要在的任意n邊形()中做出特定的內接n邊形，增加條件或重複作功可能性很高。 〔未來展望〕 我們在課堂上學習到從平面推廣到空間，於是我也開始懷疑是否Morley三角形在空間中也會有同樣的結果。相對於三角形我們找了正四面體來研究，希望能在四面體裡作出正的四面體。而目前由推論以及部分模型製作發現，以靠近同一面的3張角三等分面的交點可以在四面體內部形成小四面體，我將以這樣