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4.4 声传播时声压与密度的变化规律 以声压表示的声波方程 (摘自林达悃《录音声学基础》，中国广播电视出版社，2003) 在前两节中，我们从运动学的角度，描述了质点振动位移等物理量随时间变化的规律，并简略地提到了声压、密度等在描述声波过程中的意义。本节将进一步从声波在媒质中传播的内在关系出发，探讨声压、密度等的关系，并导出声波方程的另一种形式——声压随时间和空间变化的微分形式。为了简化数学推导，仍然以平面波为例进行分析。然后再推广到三维情况。 4.4.1 运动方程的导出 声压与质点振动速度的关系 设有一沿正向传播的平面声波，如图4.4.1所示。现考虑媒质中某一微小体积单元内的空气（可视为质点）的运动情况。若该体元的厚度为(x，其横截面与声波的传播方向垂直，截面面积为S，因此，该体元空气质点的质量m显然可用下式表示： 由于声扰动，空气质点就要离开平衡位置产生振动。当空气质点向右运动时，右边的空气变密，声压相应变大；左边空气变稀，声压相应变小。换句话说，在这种情况下，体元右侧所承受的作用力F2必然大于左侧所承受的作用力F1。如果在(x距离内，声压的增量为(p，则该体元所承受的合力应为 上述合力的方向是使空气趋向平衡位置。 根据牛顿第二定律，在此作用力作用下的空气质点就将获得一定加速度(，它与作用力之间有以下关系： 亦即 由此可得 (4.4.4)式的物理意义是：单位体积内空气质点的质量所获得的加速度与单位距离内的声压增量成正比，但方向相反。单位距离内的声压增量——(4.4.4)式的右边——反映了声压随距离变化的快慢程度，称为压力梯度。当(x 趋向于零时，(p /(x 趋向于(关于x的偏导数，即 （当(x (0时 ） 因为加速度( 是速度v 对时间的导数，因此，(4.4.4)式可以写成以下形式： 这是以微分形式表示的媒质质点的运动过程，通常称为运动方程。它把质点的振动速度与声压联系起来了：知道了声压随距离的变化情况，就可以求出质点运动的速度随时间的变化情况。换句话说，只要知道了声压随距离的变化情况，就可以求得质点振动的加速度，反之亦然。 例如，对于平面声波而言，以质点振动位移表示的波动方程是 由此可以求得振动的速度与加速度分别为 将(4.4.7)式代入(4.4.5)式，有 将(4.4.8)式中的t看成常数，并对其关于x积分一次，得 式中C为积分常数。因为当A = 0，即声波不存在时，p = 0,因此 C = 0 这样，(4.4.9)式就可以改写成 (4.4.9a)式若以v表示，则有 (4.4.10)式是声压与质点振动速度之间的基本关系，是一个十分重要的公式。它表明，在平面声波中，声压与振速成正比，并且相位相同。乘积(0c称为质点的特性阻抗。它是表征媒质传播波动特性的重要物理量。 4.4.2 连续性方程的导出 密度（随时间的变化）与振速的关系 与声压类似，在声波传播过程中，媒质的密度也随时间与空间的变化而变化。我们仍然以平面声波为例进行讨论。 试考虑如图4.4.2所示的微小体元。设想这一体元的表面在空间中固定不动，而允许空气质点自由出入。如果左边的空气密度为(1,速度为v1, 右边的空气密度与速度分别为(2、v2 ,那么，在(t时间内，从左边流入该体元的空气质量为,从右边流出的该体元的空气质量为，因此，在该体元内的空气净增量应为 若从总体效果上看，设该体元内的密度增量为((, 则其质量的增量应为 根据质量守恒定律，(4.4.11)式与(4.4.12)式应当相等，因此， 经过简单整理可得 与前面的讨论一样，当(t (0 时，(4.4.13)式也可以写成微分形式： (4.4.14)式的物理意义是：单位时间内空气密度的增加（即密度的增加率）与单位距离内空气质量流的变化相等，但方向相反。后者反映了由于声扰动，空气中形成“稠密”与“稀疏”的状况。如果考虑的小振幅声波（这在一般情况下都成立），略去高阶微量，则(4.4.14)式可以改写成 式中(0 为平衡态时的空气密度，(( = ( - (0 为密度的变化量。(4.4.15)式通常称为连续性方程。所谓“连续性”指的是空气质量既不会突然增加，也不会突然消失。当流进体元的空气多于流出的空气(为负)时，空气“稠密”起来，这一部分的空气密度就增大；反之，如果流进体元的空气少于流出体元的空气(为正)时，空气就“稀疏”起来，这时该部分的空气密度就将减小。连续性方程把空气密度与振速联系起来了。同样地，知道了其中的一个，就可以通过(4.4.15)式求出另一个。 例如，对于沿x 轴正向传播的平面声波而言，已知振速 把t 看成常数，对x 微分一次，有 将(4.4.16)式代入(4.4.15)式，则有 再把x 看成常数，对t 积分一次，可得 式中t 为积分常数。当声波不存在时，A = 0，( = (0，可