实际生活中与数学上对角的意义有不同的解释.docVIP

TKU93A06 張桂蓉 前言 實際生活中與數學上對角的意義有解釋，角的大小是一種二維特徵，和長度的一維特性有較大的差異。兒童隨著認知發展程度的不同，對各種角的概念有不同的理解時機。以小學數學課程中的角概念與角度的實測為主，配合數學課程精神的設計理念。提出圖形角、張開角到旋轉角概念，其次介紹角的大小比較、合成、度量單位的引出，到角度實測與使用量角器畫角的引導過程一般人對角的認識，常是真正角概念的局部：一個角有個線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一個尖尖的頂點。以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角，如桌角，墻角，三角形上的角，四邊形上的角.....等由於角的大都以有限度的物件呈現，因此，角的邊也常以線段表示。從實際經驗及數學上的定義因此，理想化的角概念，簡單說是「自一點朝兩個不同的方向延伸出兩條射線的結構，角的邊是射線而不是線段」 (在旋轉產生角的情況下，雖然旋轉是一種動作，動作停止，其現象即消失，但它有一個起始方向和終止方向，此二方向可用兩條射線來表示)，兩射線是角的張開活動的限制邊界。事實上，平面上的有限圖形(如多邊形)中，並不包含任何角，而只包含了角頂點的鄰近區域。構成角頂點的鄰近區域線段長度的不同，會使角頂點的鄰近區域有所不同。同時，角與角的內部是共生的(二者同時出現)，角的兩邊之張開程度大小，不因為邊長的差異而有所不同。，或是直角的。 弧長：一個圓心角所對弧的長，與圓的半徑成正比。如果取弧長對半徑的比值作為圓心角大小的度量，則稱為弳。（這部分不在國小範圍） 角的測量 一般人所使用的量角器，其上刻度及標示較為複雜（見圖一），對初的兒童而言，構造較為複雜為完全陌生的 圖一 圖二 學生可以藉由簡化的量角器經驗刻度的描述到一般量角器引出「度」的意義新課先以簡化的量角器讓兒童查覺其上的刻度線，形成不同開度的角形，再產生角的開度與量角器上刻度數值之聯結，進而嘗試在量角器上比對，逐漸形成以數值描述角度的共識。其大致的引導過程如下：引出量角工具的需要感，初步經驗角度數值化的方式首先引出開度為10的整數倍的角(如直角、60度、30度角等)做為觀察比較對象，然後利用「量長度時，可以用尺來量，量完後用幾公尺或幾公分告訴別人量的結果有多長，那麼，角有多大，可以用什麼量，量完後怎麼說角有多大？」來引起量角工具的需要感。再提出簡便的量角器(每5度畫一刻度，每10度標出度數，並將刻度線延伸至量角器的中心)讓兒童察覺其上的刻度線形成不同開度的角形，使產生角的開度與量角器上刻度數值的聯結，再以角形板(如900、600、300的三角板)在量角器上比對，逐漸形成以數值描述角度的共識，起先以開度為10的整倍數的角讓兒童比對觀察，使其初步經驗角度數值化的方式，再提出度數為5的整倍數的角(如450、1050，...)讓兒童比對，嘗試推斷其度數。進行角的合成及個別單位的累積認識量角器上刻度的意義以視覺辨別角的開度時，常會受到角之開口方位不同的影響，量角器上每個刻度線的方向皆不同，兒童對於兩組開度一樣但朝向不同方向的角大小之感覺可能有異，因此，宜先進行檢驗的活動。讓兒童比對各種量角器上各個10度的大小，以確認量角器上相鄰的10度線之形成的角都一樣大。再觀察量角器上(利用如市面上量角器的刻畫，但只標示一排數字之量角器)10度的角裡面有幾小格刻度，以引出1度的角概念，由10度角中有10個1度角，10個1度角可合成一個10度角，以及5度角有多大，5度的角裡有幾小格刻度，5度的角和幾個1度的角合起來一樣大等，以明白量角器上刻度的意義。 (接著，將白色圓形板從剪開的半徑中向上（順時針方向）轉出。如圖： (白色圓形板上，剪開的半徑即為轉動前的始邊，一邊轉一邊用量角器量出10度、20度、30度、……、180度，並用線標記。 認知結構 學生認知階段 van Hiele的研究 根據van Hiele研究顯示，國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。第一層次分析期（Analysis）此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作，發現某一群圖形的共有性質或規則。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。第二層次—關係期（Relation）或非形式演繹期(Informal Deduction) —此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬關係及各圖形間的包含關係。兒