第五讲逆矩阵、分块矩阵与初等变换.ppt

教学目的 掌握逆矩阵的概念性质，会应用逆矩阵性质解决问题，理解分块矩阵的概念和基本运算规律，记住阶梯、最简和标准形矩阵，掌握初等变换的概念和性质。 作业 重点 逆矩阵的应用与初等变换的可逆性 练习册P14－P18的11题到19题。其中：交P15-16,习题12-15 难点 逆矩阵应用题 媒体 黑板与投影 讲授内容主线 应用：对角矩阵多项式和逆阵多项式。分块要平直－矩阵可当元素看，关键是可算－对角分块求逆是重点。初等变换概念、性质、等价 内容概括 1.逆阵应用重点是用定义求因式和乘E分项。2.分块：以平直分块的块当元素进行运算可求逆阵并表示方程组。3.阶梯最简标准形，变换可逆生等价。 班级： 时间： 年 月 日 ；星期 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 本次课讲第二章第三节与第四节， 下次课讲第三章第一节第二节， 请提前预习 下次上课时交作业P13-P16 一、逆矩阵 设给定一个线性变换 （1） 它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A , 若记 则线性变换（1）可记作 （2） 是否存在从Y到X的现行变换，若存在这样的变换，即意味着存在矩阵B，使得 (3) （3）表示一个从Y到X的线性变换,称为线性变换(2)的逆变换. 由（2）、（3）两式得 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 定义7 对于 n 阶矩阵 A , 若有一个 n 阶矩阵 B , 使得 则说 矩阵 A 是可逆的， 并称矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵. A 的逆矩阵记作 即若 则 1.逆矩阵的定义 2.逆矩阵的性质 1）唯一性：若矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵一定是唯一的. 设 B、C 都是 A 的逆矩阵， 则有 证： 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 2）非奇异性（1）奇异概念 当 时， 称为奇异矩阵， 否则称为非奇异矩阵。 是可逆矩阵的充分必要条件是 （2）定理： 证：必要性：若A可逆 即有 使得 所以 即 又因为 所以有 按逆矩阵的定义有 充分性： 若 设 为矩阵 的伴随矩阵. 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 3）可交换性： 若 （或 ），则 证 所以 因而 存在， 于是 证毕 说明：该性质不仅说明了可逆的非奇异性，还诠释了一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法 方阵的逆矩阵满足下述运算规律 （i）若 可逆，则 也可逆，且 3.逆矩阵的运算规律： （ii）若 可逆，数λ≠0，则 可逆，且 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 （iii）若 为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且 证 即结论成立 （iv）若 可逆，则 亦可逆，且 证 所以有 注（1）：方阵的幂的拓展 当 时，还可定义 这样，当 ，λ，μ均为整数时，有 存在， （2）若 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 例1 利用逆阵解线性方程组 解 令 ， ， ， （2）逆矩阵解线性方程组 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 例2 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 证： 分析：根据乘法公式 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 二、分块矩阵——1.分块矩阵的概念 将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵， 每一 个小矩阵称为 的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 如 分块法有很多，例如 （i） 则 可记为 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 （ii） （iii） （iv） 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 2.分块矩阵的运算规则 1.在如上的分块矩阵中，分块后仍是矩阵。子块在矩阵中具有元素的作用，因此，在分块矩阵的运算中若把子块当作元素来看待 2.子块本身还是矩阵，因此在分块矩阵运算中，子块间的运算还必须符合矩阵运算的法则。 综上，分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。 3.运算规则： (1)设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有 其中 与 为同型矩阵，那么 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 (2)设 λ为数，那么 (3) 设 A 为m×l 矩阵，B 为l×n矩阵，分块成 其中 的列数分别等于 的行数，那么 其中 第五讲：逆矩阵与分块矩阵 (4)设 则 4.分块对角矩阵：设