数列求和问题教案1.docVIP

数列求和问题　　教学目标 　　 1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法． 　　 2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想． 　　教学重点与难点 　　重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和． 　　难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的． 　　教学过程设计 　　 (一)复习引入 　　师：等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列．我们已经推出了求其前n项和的公式，公式分别是什么？ 　　师：我们学习新知识不仅要记住其结论，正确地运用它解决问题，而且要善于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法，逐渐地学会思考、学会学习． 　　 (不失时机地对学生进行学法指导非常必要) 　　回忆一下推导这两个公式的方法，你有什么收获？ 　　 (留给学生回忆及思考的时间) 　　生甲：推导等差数列前n项和公式所用的方法是：先把Sn中各项“正着”写出来，再把Sn中各项次序反过来写出，两式相加．由于对应项和都为(a1＋an)，所以2Sn=n(a1＋an)，进而求出Sn． 　　师：推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题．(渗透转化的思想) 　　生乙：推导等比数列前n项和所用的方法是：将Sn的各项依次写出，再把这个式子的两边同时乘以q，然后两式“错项相减”，相减后等号右边只剩下两项，进而求得Sn． 　　师：解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力.把Sn=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1的两边分别乘以公比q，就得到各项后面相邻的一项，因而用“错项相减”的方法就可以消去相同的项． 　　以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到．这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题．(板书课题) 　　 (二)新课 　　 例1 求分母为3，包含在正整数m与 n(m＜n)之间的所有不可约的分数之和． 　　师：分母为3，包含在正整数m与n之间的所有不可约分数有哪些？ 　　 　　师：本题实质上让我们解决什么问题？ 　　生：求由这些分数构成的数列的各项和． 　　此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？(稍微停顿)都不是．请同学们观察此数列有什么特点，可用什么方法求和？ 　　生甲：此数列的第一项与最后一项的和是m＋n，第二项与倒数第二项的和也是m＋n，依此类推．根据此数列的特点，可以用刚才复习过的“逆序相加法”求和． 　　 (学生叙述解法一，教师板书) 　　解法1： 　　 　　将上式各项次序反过来写出： 　　 　　两式相加得 　　 　　所以S=(m＋n)(n－m)=n2－m2． 　　生乙：我观察此数列的所有奇数项组成公差为1的等差数列，所有偶数项也组成公差为1的等差数列，它们分别都有(n－m)项．可以转化成等差数列求和问题． 　　 (学生叙述解法2，教师板书) 　　解法2： 　　 　　 　　师：解法2是将原数列的各项重新组合，使它转化为等差数列求和问题，我们给 　　 (学生进一步体会) 　　师：无论是“逆序相加法”还是“分组求和法”都是通过适当的变换把某些既非等差数列又非等比数列的特殊数列转化为等差或等比数列的求和问题．看下面数列又怎样转化呢？ 　　 例2 求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和． 　　师：我们还是从观察数列特点入手．此数列各项有何特点？ 　　生：此数列每一项中的字母部分a0，a1，a2，…，an-1构成以a为公比的等比数列，每一项中的系数部分1，3，5，…，(2n－1)构成以2为公差的等差数列． 　　师：我们不妨把这种数列称为“差比数列”{cn}，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，｛bn｝为等比数列．联想我们曾遇到过的数列，有没有“差比数列”呢？ 　　生：任何一个等比数列都是特殊的差比数列． 　　师：等比数列求和公式是怎样推导的？ 　　生：用错项相减法． 　　师：假如我们也使用错项相减法，把Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1的两边也同时乘以公比a，却不得各项后面相邻的一项，两式错项相减，并未达到消去绝大部分项的目的．用此法还行吗？ 　　生：虽然没消去绝大部分项，却把问题转化成为一个等比数列求和问题． 　　 (学生叙述，教师板书) 　　解：因Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1，(1) 　　 (1)×a得 aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an． 　　两式相减得 　　 (1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an 　　 =2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an＋1 　　 　　师：让我们来回顾