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数学分析专题研究学习辅导（十） 第六章 极值问题 ——典型例题解析 例1 讨论函数的凸性。 思路：证明函数在定义域的二阶导数同号。 解 函数的定义域是 ，说明在是严格上凸的。 例2 设，当且及时，求的最大值。 思路： 解，因为故，即在处取得最大值。设 可知的最大值应该在以下4个顶点中的某一个取得，即 是最大值。 例3 设是三角形的三个内角，证明不等式 思路 试图证明是凸函数，在利用结论：个正数的几何平均不超过这个正数的算术平均证明不等式的正确。 证明 设函数，说明在内是严格上凸函数，且，则有，利用已知结论，有 所以，不等式成立。 例4 求函数的极值。 思路：依照求函数极值的步骤求解。求，令，解得稳定点，判断稳定点是否为极值点，求出函数的极值。 解 令，解得稳定点，又当时，不存在。 当时，，当时，，当时，，当是时， 因此，为函数的极小值点，且，为函数的极大值点，且。 例5 求函数的极值。 思路：对于存在二阶导数的函数，利用第二判别法判断极值点更为方便。 解 令，解得稳定点 且有 由极值的第二判别法知：是函数的极小值点，，是极大值点，极大值 例6 在坐标平面上，通过已知点，引一条直线，要使直线在两坐标轴上的截距为正，且要使两截距之和为最小，求这条直线方程。（如图） （4，1） 思路：首先确定极值函数，把实际问题转化为数学问题，而后再利用求极值的方法求解问题。 解 设直线方程的斜率为，则直线方程为 在设直线与轴的截距为，与轴的截距为，其和为将代入方程得 ，将代入方程得。 ，令，即，得为稳定点，取（因为两截距均为正，必须小于0） 所以时最小。由此可得直线方程为 即 应用问题关键是找求极值的函数，一般地说，问题的所求应设为极值函数，极值函数所依赖的变量即为自变量。 例7 求函数 的极值（） 思路：依照二元函数求极值的步骤求解。 解 由极值存在的必要条件，令 解得稳定点 又，对于稳定点 于是，由此可知函数在处没有极值。 类似地可以检验在点处无极值。 在点处，有 于是 当时，，这时函数有极大值； 当时，，这时函数有极小值。 例8 在直角边分别为的直角三角形中内接一矩形，求最大的矩形面积。 解 设矩形的边长分别为，则矩形面积为 的约束条件可由相似三角形对应边成比例求得： ，即 作辅助函数 解联立方程组 解得唯一稳定点，因为问题本身存在最大内接矩形的面积，所以为最大值点，对应的最大矩形面积为 例9 求函数在条件下的极值。 解法1 思路（化为无条件极值问题求解） 解 由可得，代入得，只需求的极值，令，解得唯一稳定点又，说明当函数在条件达到极大值，且极大值点为，对应的极大值为 解法2 利用拉格朗日乘数法求解 解 设拉格朗日函数 解联立方程组 解得唯一稳定点，又因为问题本身存在极大值，所以是函数在条件下的极值为 注意：（1）函数的极值与函数的条件极值是两个不同的概念，一个函数可以无极值，但在一定的条件下可以有条件极值。 （2）求解条件极值时，一般可以用拉格朗日乘数法，但是要注意，在利用拉格朗日乘数法引进辅助函数 已不是二元函数了，故不能再利用二元函数极值的充分条件去判断稳定点是否为极值点，此时可以根据实际问题进行判别。 （3）对于二元函数的条件极值问题，往往可以转化为一元函数求极值的问题，例如例9