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校本教材 数学拓展与提高 （供高一年级用） 编者 雷爱华 上海市青浦高级中学 目录 第一讲 二次函数最值 第二讲 用二次函数图象讨论二次方程根的分布 第三讲 二次函数与方程、不等式 第四讲 应用问题（一） 第五讲 应用问题（二） 第六讲 应用问题（三） 第七讲 应用问题（四） 第八讲 不等式性质 第九讲 不等式的应用 第十讲 三角函数式的恒等变形 第十一讲 解斜三角形 第十二讲 三角函数的最值 第十三讲 特殊数列求和的几种方法 第十四讲 选择题解法 第十五讲 希望杯竞赛题辅导 高一《数学拓展与提高》选修测试卷一 高一《数学拓展与提高》选修测试卷二 第一讲：二次函数最值 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)= 当a0时，x=，ymin= 当a0时，x=，ymax= 举例： 例1：填空 y=-2x2+3x-2 (x∈R)的最大值是 y=3x2-6x-8 (x∈R)的最小值是 例2：已知二次函数y=-2x2+4x-1，x分别在如下范围内取值时，求y的最大值和最小值。 （1）x∈R （2）-1≤x≤2 (3)-2≤x0 (4)t≤x≤t+1 例3：设-1≤x≤1，求函数y=x2-ax+3 (a∈R)的最大值与最小值。 例4：已知是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两个实根，求 ()2+()2的最小值。 例5：在长和宽分别为a和1（a1）的矩形中，如图，截得四边形ABCD，求四边形面积S的最大值。 例6：如图，有一批材料，可以建成长60米的围墙，如果用此材料围成一块矩形的场地，中间用同样的材料隔成相等的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？ 例7：如图，在兴修水利中，需开挖断面为等腰梯形渠道，腰与水平线夹角60°，水渠的断面与水接触的边界长度为定值l，问水渠深x为多少时，可使水流量最大？ 例8：在直径为a的半圆形板上截取△ABC，使AB恰为直径长，C在半圆的弧上，设AC=x ,S 为余料（阴影部分），求S的最小值。 第二讲：用二次函数图象讨论二次方程根的分布 下面介绍二次函数图象讨论二次方程根的范围问题的一般方法。 对于二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)可以化为x2+px+q=0。 方程x2+px+q=0的根与常数k的关系： 设f(x)= x2+px+q的二根，且≤，那么它们与常数k （k≠,k≠）在x轴的位置分别如下图所示。 （1） （2） （3） （1）二根均小于k （2）一根小于k而另一根大于k （3）二根均大于k 即≤＜k 即＜k＜ 即k＜≤ △≥0 △≥0 充要条件： ＜k f(k)＜0 ＞k f(k)＞0 f(k)＞0 方程x2+px+q=0的根与常数k1,k2﹙k1＜k2＝的关系： 设f(x)= x2+px+q的二根，且＜，那么它们与常数k1,k2﹙k1＜k2＝在x轴上的位置关系是： （2） f(k1) ＜0 方程f(x)=0的两根，在（k1,k2）两侧 f(k2) ＜0 (2) 方程f(x)=0在（k1,k2）内只有一根，即k1＜＜k2＜或＜k1＜＜k2 f(k1) ＞0 f(k1) ＜0 或 f(k2) ＜0 f(k2) ＞0 例1：设二次方程x2+2px+6-p=0的解满足下列条件： 两根都大于1 一根大于1，而另一根小于1 例2：已知方程x2+mx+n=0的二根都大于2，试求m，n的关系式。 例3：若方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根大于1，另一根比-1小， 求证实数a∈（-2，0） 例4、若方程ax2-2x+1=0(a0)的二根满足条件，小根小于1，大根在（1，3）内，求a的