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数学分析专题研究学习辅导（四） 第一章 集合与映射(四) ——序关系与基数 [学习目标] 通过这部分内容的学习，要理解序关系和偏序集的概念，了解最大（小）、极大（小）元的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关例题的处理方法。 理解等式、基数等概念，知道定理。 [内容提要] (一) 序关系 序关系(偏序关系)＜： 集合X中满足传递性的二元关系. 偏序集（半序集）(X，＜)：集合X中含有偏序关系时，称X为偏序集. 上(下)方有界的： 若有b∈X，对a∈A，恒有a≤ b(b≤a)，则称b为A的上(下)界. 其中，A为半序集X的子集. 有界: 当A 既上方有界又下方有界时，称A为有界. 最大(小)元maxA(minA): 当a∈A且a是A的上(下)界，则称a为A的最大(小)元. 上(下)确界supA(infA): 在A的上(下)界集中若有最小(大)元，则称之为A的最小(大)上( 下)界. 极大(小)元： 若对任何x∈A，a＜x(a＞x)都不成立，则称a为A的极大(小)元. 全序集： 满足反对称性和可比性的半序集(X，＜)为全序集，＜为全序关系. 序完备： 每个有上(下)界的非空子集必有上(下)确界的全序集. (二) 基数 等势X≈Y: X与Y之间存在一个从X到Y上的双射. 结论1： 等势关系是等价关系. 基数(势)： 按等势的等价关系将集合分类，与集合A等势的集合类的特征以表示，称为基数. 设，，若A，使≈B ，则规定≥；若A与B不等势时，规定＞. 结论2： 若≤且≤，则=. 结论3： 对于基数，，在下述三种关系中有且仅有一个成立： =,＞,＜ 结论4： 若ABC，且A≈C，则B≈C. 结论5： 基数的大小关系是序关系. [概念理解] (一) 关于序关系 实数之间的小于等于关系，集合之间的包含关系都具有传递的性质，我们把具有这种性质的关系称为序关系. 因此，我们在学习本节内容时应该理解序关系和偏序集的概念，了解最大（小）元、极大（小）元的概念，知道良序集；理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。 1．序关系“＜”不能单纯地理解为实数集中元素之间的“小于”关系，它表示序关系中有序元素偶所含元素的顺序. 若(a , b)＜，则a＜b的含义是a 小于b 或a在序上排在b的前面，也可以是b 大于a 或b在序上排在a的后面. 例如，集合A={a , b , c }的幂集= {，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}满足传递性，如{b}{a，b}，{a，b}{a，b，c}，则{b}{a，b，c}，所以，幂集是半序集. 注意，在半序集(X，＜)中的任意两个元素a 与b，不是一定有关系a＜b 或 b＜a的也就是说任意两个元素之间不一定有可比性. 例如集族中的元素{a，c}与{b，c}之间不存在包含关系. 若半序集(X，＜)还满足反对称性和可比性，则称＜为全序关系，(X，＜)为全序集. 例如，自然数集N上的小于等于关系是全序关系. 集合A = { , {a} , {a , b} , {a , b , c} , {a , b , c , d}}上的包含关系是全序关系.  2．半序集(X，＜)中最大元与极大元是不一样的. 若集合AX，则A的最大元应该大于等于A中其它各元素. A的极大元应该不小于A中其它各元素，即它大于等于A中的一些元素，而与A中另一些元素无关系. 最大元不一定存在，如果存在，必定唯一. 在非空有限集合A中，极大元必定存在，但不一定唯一. 类似地，最小元与极小元也有这种区别. 例如，集合A={a , b , c }的幂集= {，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}上的包含关系是序关系，半序集(，)中的最大元与极大元都是{a , b , c }，最小元与极小元都是. 3．若集合AX，则集合A的最大元一定是A的上界，而且是A的最小上界 (上确界sup A). 同样，集合A的最小元一定是A的下界，而且是A的最大下界(下确界inf A). 反之不成立，因为集合A的上界和下界不一定是A中的元素. 集合A的上界、下界和最小上界、最大下界可能在A中，可能不在A中，但是一定在X中. 而且A的上界和下界不一定存在