瞬时转动中心的求法.docVIP

五、瞬时转动中心的求法： 图示法：上一次课我们已经讲了瞬时转动中心的求法，瞬时转动中心的求法有图示法和分析法二种。上次讲了图示法，今天，我们就接着讲分析法。 分析法：上次课我们已经给出平面平行运动刚体上任一点P的速度：.假如P点是瞬心，因为瞬心的速度必定等于0，所以=0。于是由上式得：……(1)，矢量的矢尖的点就是瞬心，在此图上，我们用表示瞬心相对固定坐标系的位矢，（）为瞬心相对固定坐标系的坐标。 （1）空间极点：我们将上面（1）式写成固定坐标系和动坐标系的分量表达式，就可得到空间极迹和本体极迹方程。由上图可见：代入上式则有： 由此可以得到分量式为：由此可得瞬心C对定系的坐标这也就是空间极迹的参数方程。 （2）本体极迹：将写成动坐标系中的分量表达式则有：，于是可以写出在动坐标系中的分量表达式为：） ——由此式马上可以得到： 可得瞬心在动坐标系中的位置坐标这就是本体极迹的参数方程。式中的和是基点相对固定坐标系的速度 在动坐标系中的速度分量。采用分析法求空间极迹和本体极迹的关键是写出它们的 参数方程，写出了参数方程就可求它们的极迹。例：如图所示的这个机构，BD是一刚性杆，它的B端接在一个可沿OX轴运动的小滑块上，它的另一端插入导管中，此导管可绕固定点A转动，已知OA＝h，让我们求杆子的空间极迹和本体极迹？ 解：现在我们先用图示法解:不管是用图示 法还是用分析法求解空间极迹和本体极迹，首先 第一步①要选好固定坐标系和刚体固连的动坐标系（见图）。第二步②用几何作图的图示法的方法找出瞬心的位置。由于在题给的这种机构中，BD杆上的A、B两点的速度方向已被确定，B点的速度方向为水平方向，我们可以设B点的方向指向X轴的正方向，那么点A的速度必定沿着AB方向，作和的垂直线。这两条垂线的交点c就是这个机构在此刻的瞬心位置，用图示的方法找出瞬心后，第二步就是把找出的瞬心表达成定、动坐标系的参数方程。③将瞬心位置用定、动坐标表达：在这里我们就取Y/轴与水平线之间的夹角为参变量。那么我们从图上就很容易找到瞬心C点在固定坐标系中的坐标： 因为A点和瞬心的连线是垂直于的，而B点和C点的连线是垂直于X轴的，所以这两条连线之间的夹角也就是。于是可见：然而我们从图上又可看出： ，代入上式所以所得的（1）、（2）这两个方程就是我们所要求的空间极迹的参数方程，它的参量就是。只要设法消去这个参量，就可得到空间极迹方程。由（1）式可得：再由（2）可得：将此式代入（3）则有这就是空间极迹方程，由此方程可知空间极迹是一条抛物线。上面我们已求得了空间极迹。现在我们再来求它的本体极迹。从图上可以看出，瞬心C点在动坐标系中的位置坐标为： 。（4）和（5）这两个方程也是以为参量的本体极迹参数方程。将参数消去可得极迹方程 。以上我们是用图示法解的极迹的。下面我们再用分析法来求解。 分析法解：用分析法来求解，动、定坐标系的确定和图示法相同，也仍然取B点为基点。基点的坐标： ； 。 将这两个式子分别对时间求一阶微商得： --------（1）， 由（1）得杆子的角速度为：------（2），将这些结果代到空间极迹的参数方程： 中去马上就可得到： 又从（2）式可见： 所以 根据三角函数的基本关系得到其结果差一负号，可以肯定这是错的，错在什么地方呢？增加时，它的方向是向里的，刚好与规定的正方向差一个负号，这就使得最后结果差一个负号。我们用左手来判断的话，增加的方向与左手规定的正方向相同，因此取这个角度来用分析法计算极迹时，应该采用左手系来计算。而我们习惯上喜欢用右手来系来讨论。我们上面得到的极迹参数方程都是选用右手系的，为此我们还是取[A]这个角表示杆子转过的角度。因为的方向用右手系从X轴转到X/轴的方向，增加的方向虽然与右手系规定的正方向相同，因此我们采用右手系计算时应取角来讨论：由图可的： 对此式两边对时间求一次导数得 ，=，又 于是可得空间极迹的参数方程为：----（3）’------(4)/因为，如果我们将代入到上面的（3）/（4）/两式中去就可化为：；，这就得到了与图示法完全相同的结果，由此也就很容易求得本体极迹方程，但分析法比图示法要繁的多，在一般情况下，凡是瞬心可以立即画出的，应用图示法求解比较直观简单。因而我们在能够画出瞬心的情况下，应尽量应用图示法求解。接下来我们来讲刚体绕固定点转动的运动学问题。 §3、刚体绕固定点转动 刚体绕固定点转动的情况比平面平行运动要繁的多，刚体绕固定点转动的问题可以说是刚体力学部分的难点。 一、定义：当刚体运动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，刚体的这种运动方式就定义它为刚体的定点转动。刚体作定点转动时，可以看成绕通过定点的某一直线转动，而这一直线的方位指向会随着时间的改变而改变，因此这样的直线我们就称它为瞬时转动轴，也