台州学院2007学年第二学期.docVIP

台州学院2006学年第二学期 2006级数学与应用数学专业《高等代数II》试卷(B卷)(闭卷) 班级 　 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 15 15 15 15 10 10 100 一. 填空(20分，每小题4分) 1. f (x) = x4 +x3 -3x2 -4x -1，g (x) = x3 +x2 -4x -1，则(f (x), g (x))= ; 2. 有理数域Q上的所有n阶对称矩阵作为Q上的向量空间的维数是 ； 3. 设是向量空间V的一组基，由这组基到另一组基的过渡矩阵是 ； 4. 设三阶矩阵A的三个特征根为1，1，2，则 ； 5. 正定矩阵与半正定矩阵之和为 。 二．选择题(15分，每小题3分) 1．设C是复数域，V={(a, b) | a, b(C}是实数域R上的线性空间，则dimV= 。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 有限维线性空间V上的线性变换A可逆的充要条件是 。 A. A V=V B. A 有n个线性无关的特征向量 C. A 有n个互不相同的特征根 D. A 在V的一组基下的矩阵是对角形 3．设(是线性变换A的特征值，则V(的维数 ( (作为特征根的)重数。 A. 不大于 B. 不小于 C. 等于 D. 不确定 4．设矩阵A的初等因子是((-3)和((-4)2, 则A的Jordan标准型为 。 A. B. C. D. 5. 下列关于欧氏空间V上的正交变换A 的结论中， 是不正确的。 A在V的一组基下的矩阵是正交矩阵； A的属于不同特征值的特征向量线性无关 (A (, ()=((, A () ((, ((V |A (| = |(| (((V 三．计算 （15分）设，求正交矩阵T，使得T－1AT为对角形。 四．（15分）设n维线性空间V上的非零线性变换A把某个非零向量(变为0，证明必存在s(1)个线性无关的向量使得A ((1), A ((2),…, A ((s)线性相关，且都不等于(。 五．（15分）设A为n阶实对称矩阵，证明存在实数a，使得A+aE是半正定矩阵而非正定矩阵。 六．.(10分) 设(是可逆矩阵A的特征根，证明((1是A(1的特征根。 七．（10分）设A为三阶矩阵，且A2+2A+E=0, 写出A的Jordan标准形所有可能形式。 台州学院2006学年第二学期 2006级数学与应用数学专业《高等代数II》答卷(B卷) 班级 　 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 15 15 15 15 10 10 100 得分 一. 填空(20分，每小题4分) 1. 2. 3. 4. 5. 台州学院2006学年第二学期 2006级数学与应用数学专业《高等代数II》试卷(B卷)答案 班级 　 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 15 15 15 15 10 10 100 一. 填空(20分，每小题4分) 1. 1； 2. n(n+1)/2; 3. 4. 6; 5. 正定矩阵。 二．选择题(20分，每小题4分) 1．C; 2. A； 3. A; 4. D; 5. C. 三．计算 （15分） 解. A的特征根为1，1，4. 当(=1时，相应的特征向量为(1=（1, －1, 0）(2=（1, 0, －1）。标准正交化后为： (1=（，－，0），(2=（，，－）。 当(=4时，相应的特征向量为(3=（1，1，1），标准化为(3=（，－，）。 四．（15分） 证明. 令(1=2(，把它扩充成V的一组基，，由于A (()=0, 所以A ((1)=0。 0是A的一个特征根，所以A不是可逆的的线性变换，于是A在此基下的矩阵A不是可逆矩阵，由（A ((1), A ((2),…, A ((n)）=（）A，R(A)n, 得 R(A ((1), A ((2),…, A ((n))n, 从而A ((1), A ((2),…, A ((n)线