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谈谈递推数列的应用 四川省高中数学省级骨干四班学员 四川省纳溪中学校 王远强 [引语] 递推数列是一类广泛而复杂的问题,其特点是：逻辑推理性强,求解方法开放、灵活.数列应用问题的特征是：内容广泛,对信息收集、语言转换和数据处理能力要求高。 近几年的高考数学试题中呈恒高漫态势，是高考的热点.是应用意识与能力培养的素质教育的一个好素材. 递推数列的应用问题求解，主要是运用转化思想化归为两类基本数列(等差数列、等比数列)的问题.它把数学运用于实践,在实践中发展能力,因此在教学中有意识地从这两个方面去培养学生的能力是有裨益的. 本文以数列递推的应用为重点探讨数列应用问题求解思路，以期提高学生的适应高考的能力，提升学生解题的思维品质。 I.解决问题两个要点： 1．探索化归：准确探索问题所涉及的数列的类型或准确定义问题中的数列. 2．列式建模：求出数列的通项公式或建立递推关系： ①如果问题所涉及的数列是特殊数列（如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等），应首先建立数列的通项公式； ②如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系式. II.例析递推数列应用 一．最优方案问题 例1某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取） [解析]甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：（万元） 银行贷款本息：（万元） 故甲方案纯利：（万元） ②乙方案获利： （万元）； 银行本息和： （万元） 故乙方案纯利：（万元）； 综上可知，甲方案更好. [评析]：例1是比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解. 二．排列问题 例2．把1元与2元的硬币共n元放成一排,总共有多少种不同放法? 解：设放法总数为,则=1, =2.把种放法分为两类： ①头一枚是1元的放法数应是；②头一枚是2元的放法应是. 于是 =+ (n=3,4,5,…), 下面用待定系数法求通项. 引入参数m设： +m=(m+1) + 即 +m=(m+1)( +) 令m= 则m=. 于是 －=(－) ……(I) －=(－) ……(II) 由(I)式知数列{－}是首项为 －=,公比为= 的等比数列,所以有 －=(=( ……③ 由(II)式知数列{－}是首项为－=,公比为= 的等比数列,所以有－=(=( ……④ 由③④消去即得=[(－(] [评析]：这是著名的斐波那契数列.本题采用待定系数法化归为等比数列求通项. 三．浓度问题 例3．容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐 水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一 次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为an、bn， （1）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？ （取lg2=0.3010，lg3=0.4771的值. 解：（1）； ； 的等比数列， ， ，故至少操作7次； （2） 而. [评析]：这是数学在化学中的应用． 四.绿化问题 例4．我国大西北某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2005年底全县的 绿化率已达到30%（成为绿洲），从2006年开始，每年将出现这样的局面：原有的沙漠 面积的16%被改造成绿洲，而同时有原来绿洲面积的4%又被侵蚀而变成的沙漠；问到 哪一年（的年底）才能使全县的绿化率超过60%？（取lg2=0.301） 解：设每年（年底）的绿化率为数列，；而沙化率为数列， .由题意得 由题意得 . 故到2003年底绿化率超过60%. [评析]：这是一个绿化环保为背景的好例。 五．染色问题 例5．把一个圆分成n(n≥2)个扇形,依次记为、、…、,每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色,但要求相邻扇形的颜色互不相同,问一共有多少种涂色方法? 解：设分成n个扇形时,涂法的总数为(n≥2), 当n=2时, 有3种涂法, 与的颜色不能相同,故对于的每一种涂法, 仅有两种涂法,这样共有=3×2=6种涂法. 当n＞2时,由于有3种涂法, 有两种涂法,接着 、、…、、依