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谈一道解几题的体会及其应用 石龙三中 何沛康 习题在数学教学中有着特殊重要的作用。而典型习题更具特色，如体现典型的解题方法，技巧；上升为公式，定理或法则后，有广泛的应用。纵向深化有引伸或推广的潜在条件，横向发展，综合代数、三角、几何等内容；数形结合，富于变化，有高等数学背景等等。所以精心设计，筛选习题与作业，使教学中做到举一反三的作用。现在以《平面解析几何》（甲种本）第159页练习题2：已知一条直线上的两点以分点Ｍ（ｘ，y）分所成的比，为参数，写出参数方程。 建立方程，探索本质。的参数方程 上述习题是一道深入理解，巩固曲线的参数方程的定义的基本题型，也是直线方程的一种常见形式，练习课上，我没有只要求学生写出直线的参数方程 这一基本要求上，经慎重考虑，设计了下面一组由浅入深，诱人思虑的问题。 方程（１）就是所求的直线参数方程，你能讲讲为什么吗？ 从本题的条件看，通常怎样求方程。方程（１）所表示的直线参数方程叫什么？ 说明参数的几何意义，并说明的道理。 由方程（１）联想到学过的线段定比分点公式，试述它们之间的联系与区别？ 由方程（１）联想到直线的点斜式参数方程（ｔ为参数）能说明它们的各自使用的条件与关联吗？ 通过以上的讨论，一方面使学生深入理解建立直线的两点式参数方程是合理可靠，另一方面可唤起学生的求知欲，创设再发现的情境。紧扣曲线的参数方程的定义，新旧知识结合，探索与论证结合，进而得出结论。 学懂会用，完善认知结构。 参数方程中的参数，具有特殊的能力，它能制约、协调变量x,y的变化，沟通已知条件与曲线上动点间的关系，起到化繁为简，溶解难点的作用，利用参数方程解决问题具有优越性。现选取一道课本习题，三使学生自然进入直线的两点式参数方程的应用讨论之中。 求交点过两点Ａ(-3,2)和B(6,1)的直线与直线x+3y-6=0交于点Ｐ，求点Ｐ分所成的比。（见《平面解析几何》甲种本第59页22题） 学生们的思路是先写出直线AB的方程，再Ｐ，最后求Ｐ分所成的比。根据直线的两点式参数方程的参数意义与应用条件，启发学生们重新构造思路，即设点Ｐ坐标为(x,y)则直线AB的参数方程为又点Ｐ在直线x+3y-6=0上。 发现解题捷径固然可喜，此时应不失时机地把学生的思维活动引向深化，如提出下面的问题。 你能把后一种解法的特点与规律概括一下吗？（其中解法规律可答：涉及同一条直线上，动点分两定点的线段比的有关问题，可试用直线的两点式参数方程来解）。 B(1,2),C(-1,-1)。求点Ａ的坐标。（提示：先求Ｄ为的平过点的直线与直线Ax+By+C=0交于点Ｍ，试求Ｍ分所成的比，并判定的符号。（）。 中，的平分线所在直线方程为2x+y-1=0，Ｂ,C两点的坐标为分线与BC边交点，再求点Ａ的坐标。（或）。 已知定点Ｑ(a,b)，动点Ｐ在直线Ax+By+C=0上。点Ｍ在直线PQ上，且求点Ｍ的轨迹。（略解：设）则有 在直线Ax+By+C=0上，将代入整理得A(1+t)x+B(1+t)y-Aa-Bb+Ct=0即为所求。） 已知两点P(-2,2)，Q(0,2)以及一条直线Ｌ：y=x，设长为的线段AB在直线Ｌ上移动，求直线PA和QB的交点Ｍ的轨迹方程。（1985年全国高考试题理工科第六题） 如图。P,Q是定点，欲求交点Ｍ(x,y)的轨迹方程,只需确定动点的坐标，即确定参数＝＝然而，探求间的相依关系，则需对题目给出的新信息（点A,B在直线y=x上,PA与QB交于点M等）与旧信息(原有认知结构中的直线PA,QB的普通方程等等)重新分化，改造组合。手段之一是数形结合。如点A,B在直线y=x上,可发现由y=x,挖掘更隐蔽的条件。把两点间的距离的根式转化为有理式，进而可求点Ｍ的轨迹方程。综上所述，新旧信息的重新构造使之成为解题有用的信息来之不易，因构造、组合才能转化，这是突破难点、解题的关键。略解如下。 设，点，点，交点M(x,y)。于是直线PM的方程为 直线QM的方程为 直线PM交Ｌ于Ａ点。。即……(1)同法可求………(2) 又由题意………..(3) 将(1),(2)代入(3)得即为所求。 综合练习，发展智能． 解析几何是综合性较强的学科，因此教学中要处处注意培养学生，用联系运动变化的观点去全面考虑问题，要充分突出解析几何自身在内容上和方法上的优越性。可有计划选配一些综合运用双基知识的练习题，以求开拓学生思路，发展创造性思维，提高分析和解决问题的能力。 设点A,B为双曲线系……..(1) (上两点。若直线AB与双曲线系交于点M,N。求证：AM=NB。 证明：如图，设点Ａ点Ｂ。则直线AB的参数方程为 (3)代入(2)并整理得： 由题意直线AB与双曲线(2)相交。方程(4)有不等的实根。于是＝１。就是。 以上是我使用一道习题的一