探求轨迹方程的常用技法.docVIP

求轨迹方程的十种技法 春晖中学 冯志华 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3x,y）是轨迹上任意一点，作MN⊥L于N， 由　｜MA｜＋｜MN｜＝4，得 当x≧3时上式化简为　y2=－12(x-4) 当x≦3时上式化简为 y2=4x 所以点M的轨迹方程为　y2=－12(x-4)　 (3≦x≦4) 和y2=4x (0≦x≦3). 其轨迹是两条抛物线弧。 2定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。 例2 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上． 3 转移法 若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0x、yx0、y0x0、y0 上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。 解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0, y0）， 因为F1（-4，0），F2（4，0） 则有 , ， 故代入 　 得所求轨迹方程　（y≠0） 4点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。 例4 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。 解 设M（x, y），A（x1, y1），B（x2, y2） 则x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由， 两式相减并同除以（x1-x2） ,　而kAB= kPM=, 又因为PM⊥AB所以kAB×kPM=－1 故 化简得点M的轨迹方程xy +2x- 4y=0 5几何法 运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。 例5如图，给出定点A（a,0）(a0)和直线L：x=－1, B是直线L上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。 解 设B（-1，b），则直线OA和OB的方程 分别为y=0和y=－bx , 设C（x,y），由点C到 OA，OB的距离相等，得|y|= ① 又点C在直线AB上，故有y= 由x-a≠0得b=－ 代入① 化简整理得 y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0 若y≠0, 则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0xa) 若y=0, 则 b=0,∠AOB=π得C（0，0）满足上式 ，综合得点C的轨迹方程为　(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0≤xa) 以下对a分类讨论略 (本题用三角形内角平分线性质定理来解亦很方便) 6交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。 例6已知MN是椭圆中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。 解1:(利用点的坐标作参数) 令M(x1,y1 ) ，N(x1,-y1) 而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(x,y) 因为A, M, P 共线. 所以 因为N, B,P 共线. 所以 两式相乘得①， 而即代入① 得，　即交点P的轨迹方程为　 解2: (利用角作参数) 设M(acosθ,bsinθ) 则N(acosθ