同步讲台（十） 第十讲平面向量 知点考点答点 （一）向量——架设数形结合.docVIP

同步讲台（10） 第十讲 平面向量 ● 知点 考点 答点 （1）向量——架设数形结合的桥梁 向量是既有大小又有方向的量.因此一切方向相同且长度相等的向量都相等，都可以通过平移，使它的起点在原点.这样，任何一条向量既可以用原点出发的唯一一条有向线段表示，又可以用这条有向线段终点的坐标唯一地表示.前者是形，后者是数，它们形成一一对应，能进行等价的转换. 所以我们说，向量架设了数形结合的桥梁. 【例1】若非零向量满足，则（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】原题有数无形，若不依据条件配之以恰当的形是难以破解的.而要正确画出“形”，不理解题意是不行的. 是什么意思？是两向量和的模等于其中一条向量的模.以此为基础，我们去寻找，或的大小关系. 【解析】如图：OC=a+b.延长OB到B′，使 BB′=OB，连结CM，OM，B′M，那么OM= a+2b. △OCM中，OC+CM＞OM，∵，∴. 选C. （2）向量加减——将方向运算与长度运算合一 向量的加减运算，已不同于前此的数量加减运算，它既顾及长度的增减，又兼顾方向的变迁. 向量加减运算的结果，还是一个向量. 【例2】设E，F是任意四边形ABCD中AD、BC的中点，证明：EF=（AB+DC） 谁都知道，待证式类同于梯形中位线的性质.可是，由于这里 牵涉到的量是向量而不是数量，那么它对一切四边形都成立. 证明这个等式的方法很多.我们选用较简单的证明方法是： 如图：∵EF=ED+DC+CF （1） 又EF=EA+AB+BF （2） （1）+（2），并注意到：ED+EA=0，且CF+BF=0， ∴2EF=AB+DC 也就是EF=（AB+DC）. 根据“如果n条向量首尾顺序相接组成封闭图形，那么这n条向量之和为零向量”，可以推出如下重要定理. 【例3】设G为△ABC内一点，证明：点G为△ABC重心的充分必要条件是： GA+GB+GC=0. 【证明】如图，若G为△ABC的重心，分别延长 AG，BG，CG，依次交对边于D，E，F.那么：AD、BE、CF∴ 分别是BC、CA、AB边上的中线.∴AG+BG+CG =（AD+BE+CF）.但是AD =（AB+AC），BE =（BC+BA）， CF =（CB+CA）.而AB+BC+CA=0，故AD+BE+CF=0， ∴AG+BG+CG=0，也就是GA+GB+GC=0. 故条件必要. 反之，若GA+GB+GC=0.以GB、GC为边作□GBHC，GH交BC于D，∵GH、BC互相平分，故D为BC中点.又由于GB+GC=GH，∴GA+GH=0这说明GA、GH为相反向量，∴AD为BC边的中线，且GA= -AD，∴G为△ABC的重心，条件充分.实数 （3）基本定理——为平面向量扎根奠底 实数与向量的积的实质是将一条非零向量向它的正向或反向伸缩. 以此为基础所导出的平面向量基本定理是：若e1，e2是两条不共线的非零向量，那么对于平面上任意一条向量，必定存在两个实数λ，μ，使得a=λe1+μe2成立.这也就是说，平面上任意一条向量都可以用e1，e2线性表示. 【例4】设OP=λOB+μOA. 其中λ，μ是非零实数. 证明：A、B、P三点共线的充分必要条件是λ+μ=1. 【证明】如图，假三点A、B、P共线，那么存在非零实数λ， 使得AP=λAB. 也就是OP-OA=λ（OB-OA）. ∴OP=λOB +（1-λ）OA. 令1-λ=μ，即得 OP=λOB+μOA，∴条件必要. 反之，OP=λOB+μOA，其中λ+μ=1.，则有OP=λOB+（1-λ）OA.也就是 OP-OA=λ（OB-OA），或AP=λAB.∵λ≠0，∴A、B、P三点共线.条件充分. 【评注】例3与例4所导出的结论十分重要，在有关向量的证、解题中有广泛的应用. （4）数量积——向量运算的特色展示 如果说向量的加减运算可用复数代替，向量的坐标运算可由解几代替，而向量的数量积运算在中学阶段则是“无可取代”的内容，因此，数量积运算是向是运算最有特色的部分 利用平面向量的数量积的知识，很容易处理垂直和求角度等方面的问题. 【例5】已知非零向量AB与AC满足则 △ABC为（ ） A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非直角三角形 D.等边三角形. 【解析】=AB1=e1表示AB方向的单位向量， =AC1=e2表示AC方向的单位向量，∴〡e1〡=〡e2〡=1. 图中AD=AB1+AC1且〡AB1〡=〡AC1〡=1，知 □AB1DC1是菱形，∴AD平分∠BAC. 已知，即ADBC=0，∴AD