统计VS机率.docVIP

統計V.S.機率 人類面對某些現象利用統計去探討發生的可能性，是因為人類對這些現象的真正知識非常缺乏的緣故。這是著名統計學家Persi Diaconis的洞見。 例如抽香煙和肺癌到底有什麼關係？不知道！但是我們可以把得到肺癌的人調查有抽煙的比例，和全部的同一年齡區段的人有抽煙的比例，看到了一個集中的趨勢，即得肺癌的人過去抽煙兩年以上的人比例超過很多。所以如果你抽煙，則按照這個調查去算，可以得到你會得肺癌的機會的一個數字。 像數值天氣預報，就是運用這種統計方法，對往後幾小時，乃至幾天的天氣做出預測。它是非常成功的。 因此，我們可以藉由「統計」現有的資料，來推測未來事情可能發生的「機率」。 數學結構—機率 當人類在觀察或預測某一現象時，會產生兩類情形，第一類情形在某些相同條件下，其事件發生（或試驗）的結果是可以預測的，其結果隱含因果關係且具有決定性者。然而有些現象，雖然在某些相同的條件下，其事件發生（或試驗）的結果並不能事先加以確定，是為非決定性者。 機率便是一種指標，其用來測量這種非決定性事件可能發生的程度有多大。依據文獻上討論，機率的意義大概可分為四種（Shaughnessy, 1992; Konold, 1991; Hawkins Kapapia, 1984）：古典機率（或稱理論機率）、經驗機率（Empirical probability）（或稱次數機率）、主觀或直覺機率（Subjective and Intuitive probability）及形式機率（Formal probability）。 古典機率是假設在隨機設計的試驗中每一基本事件發生的機會均等（equally likely），稱此為均勻機率分配。像骰子，如果盡量做得完美的正方體，質料也很均勻，毫無任何理由某一點數會特別容易或不容易出現，那麼我們說，每一種點數出現的機率是六分之一。經驗機率是指隨機結果的長期行為，數學上，其包含極限和收斂的理論。主觀機率是二十世紀所產生的名稱，其在測量信仰的程度（degree of belief）。它似乎可能依賴貝爾定理（Bayes Theorem）而將主觀機率數學化，意即依賴可獲得的資訊作為機率修正的理論。形式機率是利用數學法則（如公理）來定義機率。雖然Kapadia（1988）宣稱主觀機率優於其它兩者。但是Shaughnessy（1992）強調教機率的重點是將一些觀點模式化（a modeling point of view），在不同的問題形態和不同的工作任務（tasks）能用不同的機率模式去解決。某些率實驗可能以均勻機率空間加以模式化，而某些可能用用經驗機率的觀點較佳。有時候，經驗機率亦能解決主觀機率和古典機率的衝突。 重複作一試驗若干次，有些事件會出現較多次，有些事件出現的次數則較少。例如，撲克牌裡的梭哈遊戲，52張牌，每人發5張。則長期觀察後，發現同花比四條出現的相對頻率高。這種事件出現的相對頻率，可以用來解釋機率。機率較大的事件，出現的相對頻率便較高。不過對機率的解釋，並不只限於相對頻率的解釋，主觀的解釋也是一種。也就是視機率為一事件之相信程度。 在數學裡給兩個數字0.3及0.5。不用去問0.3或0.5的含義，而且毫無疑問的0.50.3。但在機率裡，如果說有兩個銅板A與B，出現正面的機率各為0.3及0.5，所代表的意義究竟為何？各丟一百次，銅板A是否出現30次？顯然不一定。那銅板B出現正面的次數是否會較銅板A多？顯然也不一定。由0.50.3，並無法轉換成出現正面的次數較多。所以如何解釋機率，並非一簡單的問題。對於機率，不能用表面的數學來看 機率的定義，大致可分為下列三種: 1. 將機率的概念以相同的可能性來解釋，此為古典的定義。 2. 以在多次重覆實驗後，一事件出現的頻率來表示機率，此即統計的定義，或客觀的解釋。 3. 以觀察者對一事件的相信程度來定義機率，此即主觀的觀點。 一個事件會發生的機會；機率常以百分率或分數來表示。樣本空間：隨機試驗或隨機觀察行動後『所有』可能結果（outcome）之集合　　　Ｐ（Ａ）＝３／６例如：投擲一枚錢幣，樣本空間有正反兩面。假設我們投擲10000次，其正反兩面出現的機會將會比較接近1：1，所以我們可以說：我們投擲一枚錢幣，其出現正面和反面的機率皆為1/2┼b，則我們估計抽到白球的機率，若每一個球的材質都相等，盒中的球也有充分攪亂，每抽完一球後記錄，再放回盒中充分攪亂，重複n次抽出n個球，出現白球的次數為m，白球出現的頻率為。當實驗次數n越大時，頻率會越來越接近機率，這個結論現在通稱為「大數法則」。 認知結構 兒童概念發展 (一) Piaget理論： Piaget將兒童機率概念發展分成三階段： 1.七歲以前的兒童是屬於運思前期，尚無法區分事件之必然性和可能性。 第一階段，七歲以下