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投影问题 内容：立体几何中的投影问题 引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。二牛听后说你们俩都对。他们俩半信半凝。同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？ 投影问题可分为两类 正投影问题 解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线 1.直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，A、B在α内的射影分别为A′、B′，（1）求证：ΔA′B′C是钝角三角;（2）当AC，BC与平面α所成的角分别为30o和45o时,求cos∠A′CB′的值. 2．A、B分别是60o的二面角α-l-β的面α、β上的点，AA1⊥β于A1，BB1⊥α于B1，A1B1到l的距离分别为a、b，A、B在棱l上的射影间的距离为c(如图)，求AB的长。 3．ABCD是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合。（1）求证：A′B′C′D′是平行四边形；（2）在怎样的条件下A′B′C′D′也是矩形？并证明你的结论。 4．设正四棱锥P的底是边长为2 的正方形，高为h，平面π平行于正方形的一条对角线，与P的底面交角为α，把P正投影到π上，问α为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？ 二.影子长和面积问题 解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交 5．北纬38o的开阔平地上，在楼高为H的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应不小于多少？ 6．抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面BG表示，上面用AC=3m,BC=4m,AB=5m的角钢焊成（将AB放在墙上），他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成75o角时，气温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚ABC面与水平面应成多大角度？ 练习 1.点光源S与屏幕之间有一个直径为2的小球，球心O与点光源S连线与屏幕垂直，O点到S与屏幕之间的距离都是2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为 2.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心, 则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________. (要求:把可能的图的序号都填上) 3.ΔABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A、B、C在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′、B′、C′,若ΔA′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5,则A到平面α的距离为_______. 4.地球半径为R，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_____________. 5.在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o.若要光源恰照亮整个广场，其高度应为_________. 6．在阳光下，一个大球放于水平地面上，球的影子伸长到距球与地面接触点10米远，同一时刻，一根竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，求球的半径。 7．从平面α外一点P向平面α引垂线PO和斜线PA、PB，垂足为O，斜足为A、B，PA、PB和平面α所成角的差为45o,且在平面α上的射影长分别为2和12，求PO的长 8.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB，AC与α都斜交，A在α上的射影是O（O不在BC上），求证：∠BOC是钝角。 9．（1）若直角∠ABC的一边BC平行于平面α，另一边AB和平面α斜交（如图），求证：∠ABC在平面α上的射影仍是直角；（2）直角∠ABC的一条边AB和平面α斜交，另一边BC不在平面α内，若∠ABC在α上的射影仍是直角，求证：BC∥α。 10．已知平面α//平面β，点AC，BD为夹在α,β间的两斜线段（A，B在α内，C，D在β内）且AC=37，BD=125，AC在β上的射影长为12，求BD在β上的射影长. 11.已知二面角α-MN-β为60o,A∈α,B∈β,BC为AB在β上的射影，且C在棱MN上，AB与β所成角为60o,且AC=，∠MCB=45o，求线段AB的长。 12．求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心。 13．在三棱锥P-ABC中，已知棱PC，AC，BC两两互相垂直，且∠PAC=30o,PB=,BC=3(如图)（1）求二面角B-PA-C的度数；（2）设C点在面PAB上的射影为O，求点O到面PAC的距离。 15.已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于的高CD上．之间的距离为．（1）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC；（3）若∠M