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4.5 透视对应 　　　　 内容解析? 在第2章，我们把平行射影叫做透视仿射，把仿射对应看成透视仿射链．与此相仿，把中心射影叫做透视，射影变换＃叫做透视链．也就是说，任何射影对应，可以用透视作为手段来实现． 设是点列外的一点（如图4-9所示）， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　? 与点列上的点相连，得到的线束．根据前面线束交比的定义知道，线束与点列上对应点的交比相等，所以这两个一维图形成射影对应． 也就是说，如果一条直线不过线束的中心，那么这条直线与线束相截得到的点列与线束成射影对应． 定义4.8　设点列和线束成射影对应，即，＃如果对应直线过对应点，这种特殊的射影对应叫做透视对应，记作,这时也称这两个一维图形处于透视状态． 定义4.9　若两个点列与同一个线束成透视对应，也就是说两个点列成中心射影对应，则称这两个点列成透视对应． 如图4-10所示， ， ， 则． 显然，如果两个点列成透视对应，那么对应点的连线共点，这个点叫做透视中心． 定义4.10　若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应（如图4-11所示）． 　， 　， 则． ?定理4.14　两个射影对应的点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应． 如图4-12， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　?对偶地有 ?定理4.15　两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共线自对应． 这个定理是定理4.14的对偶命题，所以，定理4.14成立时，定理4.15一定成立． ?定理4.16(巴卜斯定理)　 设是直线上互异的三点，是上互异的三点，那么三个交点 ，， 共线． 见图4-13． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 定理4.17　对于两个不共底且不透视对应的射影对应点列，用两次透视对应，可把第一个点列变成第二个点列． 也就是说，射影对应是两个透视对应的复合． 如图4-14所示， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 定理4.18　设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即，这时的射影对应是三个透视对应的复合． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　典型例题? 例１　若三角形的三边AB、BC、C A分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动． ??证明　如图4-16所示， 取为透视中心，则 ， 于是　．在这两个射影线束中，是自对应元素， 所以，由定理4.15， ， 由定义4.10，两个透视对应的线束对应直线的交点共线，即顶点A也在一条直线上移动． 例2　四边形被分成两个四边形和，求证三个四边形，，的对角线交点共线． 证明　见图4-17， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因为，，直线上互异的三点，，，是直线上互异的三点，由定理4.16（巴卜斯定理）， 三个交点 ， ， 共线． 1 D A F B C E G K H