高二数学圆的方程7.ppt

* 问题： (1) 请说出圆心在点(a, b)，且半径是r的圆的方程. (x ? a)2 + ( y ? b)2 = r2 (2)直线方程有哪几种？ 条件A2 + B2 ? 0不能缺少 (3)直线方程的一般式是 Ax + By + C = 0吗？ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1) 我们认识一般事物，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式…)展开整理而得到的．那么，想求圆的一般方程，该怎么办？ 仿照直线方程试一试! (x ? a)2 + ( y ? b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1) 当D2 + E2 ? 4F 0时，方程(1)叫做圆的一般方程. (x + )2 + ( y + )2 = (2) 从(1)式得来的过程可知，只要是圆的方程就可以写成(1)的形式．那么能否下结论： (1)式就是圆的方程？ 圆的一般方程的特点： ① x2和y2的系数相同，且不等于零，即A = C ? 0； ② 没有x y项，即B = 0； x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1) 以上是一般二元二次方程： Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (3) 表示圆的必要非充分条件. (3) 表示圆的充要条件是： ① ②再加③ D2 + E2 ? 4AF 0. 练习：教材P79练习第1、2题． 圆的标准方程与一般方程在应用时需注意的几点： ① 两个方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立条件； ② 当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法来求它的方程. 如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出常数a、b、r. 如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接联系，那么一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F. 例1(教材P78例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标. 例2 (课本P78例5)已知一曲线是与两个定点O(0, 0)、A(3, 0)距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 例3 求过原点及点A(1，1)，且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程. 分析：设出一般方程，用待定系数法．注意数形结合，由弦长为3可得圆心横坐标为? ，即D = ? 3，可使列方程和解方程组都简便． x2 + y2 +3x ?5y = 0或x2 + y2 ?3x + y = 0 也可设标准方程 . 例4 已知圆过点P(2，? 1)，与直线x ? y = 1相切，且它的圆心在直线 y = ? 2x上，求这个圆的方程. 分析：本题的条件都与圆心、半径有关，宜选用圆的标准方程，再用待定系数法求出圆心坐标和半径，即得所求圆方程． (x ? 1)2 + ( y + 2)2 = 2， 或(x ? 9)2 + ( y + 18)2 = 338． 例5 求圆心在直线x ? y ? 4 = 0上，且经过两圆x2 + y2 ? 4x ? 3 = 0和x2 + y2 ? 4y ? 3 = 0的交点的圆的方程． x2 + y2 ? 6x + 2y ? 3 = 0 分析：可考虑用过两圆交点的圆系方程求解． 说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程． *