有旋情况下的完整Boussinesq方程研究.pdf

第九届全国水动力学学术会议暨第二十二二届全国水动力学研讨会文集 si ne 有旋情况下的完整Boussq方程 刘应中 万德成 (上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院海洋工程国家重点实验室200240) 摘要：将垂向流体速度和水平涡分量在静水面处展成垂向座标的无穷幂级数。利用连续性方 程和水平涡量与流速间的关系，将任意点上的速度表示成静水面上的速度以及各阶水平涡量 的无穷级数。然后由水深平均的运动方程，得到了以静水面上的速度表示的高阶Boussinesq 型方程，再补充以海底的运动学条件就得到有旋情况下的完整的Boussinesq型方程．水平涡 量为零时退化为垂直涡量是任意的完整的Boussinesq型方程．作为例子，给出常涡量下的 Boussinesq型方程。利用逐次逼近的方法得到了静水面速度间的显示关系，以及静水面上的 水平速度和水深平均的水平速度问的显式关系。 关键词： Boussinesq型方程；有旋流动；有限水深的水波问题 l无量纲流动速度的级数表达式 假设垂向速度分量可以表示成 oD w(石，少，z，于)=∑z刀％(x，y，f) 疗=O 利用连续性方程和水平涡量的关系 V·挺+加／瑟=0， 钿／瑟一∥2Vw=(岛，一日) 消去水平速度欠量口，可以得到垂向速度展开的系数间的递推关系 ‰一篇一志cV训，n—o^2，… 式中，口‘：(码，一日)，鸭：芝车l：：。，∥：砌1，并假定口。可以展成垂向座标z的幂 d2 国家自然科学皋金(批准和863项目(批准号2006AA092354)资助 ．104· 第九属全国水动力学学术会议暨第二十二届全国水动力学研讨会文集 级数。将这些结果代入式(1)略加整理得到垂向速度分量的表达式 w=w．一薹(-1)们。未：争2叩‰-2)】 (3) ∞ ，， ·2n _2打+l 、 式中 心丢(_D弋南∥w2‰一赢∥唧2弋玑叫 (4) 是水平涡量为零时的垂向速度的表达式。 注意到幂级数对z的积分仍然是幂级数，比如 ∥= ％ 出 Q= ％以 等 北薹鲁％， rk。 。∑脚 ，一引 Zt．1JD ：rJO 。∑啦 矿一引 于是形式上垂向速度分量w又可写作 w：矿一妻(_1)∥m1．．了V抽(V∥№z一： 用=0 0 O 这里，dz上面的指数代表积分的重数。 利用水平涡量的关系(4)，从O到z积分，得到流场中任意的速度为： 口专口’+∑(一1)”∥2”卜夕2川(V秽)出2州 打=u 0 0 式中，口‘是水平涡颦为零时的水平速度的表达式 露‘～∥2 按照涡量积分和级数的对应关系，水平速度矢量又可表示成 …‘+扣胪【。蠢．奢2川(V‰_1)】 (8) 这样，利用连续性方程和水平涡量的定义，得到了任意点上的速度口和w的展开式，式中 的系数中含有静水面上的水平速度矢量‰和垂直速度分量％等两个待定函数，以及与水平 涡矢量的展开系数相关的项。 应该指出，这里得到的结果中，虽然流动可以是有旋的，但是仍然对涡黾作了一定的限制， 即涡量与色散参数∥无关。从物理上看，在理想流体利体积力有势(如重力)的条件下，涡量不 -105． 第九届全国水动力学学术会议暨第二十二届全国水动力学研讨会文集 可能自动产生，涡量的初始分布必