《高中物理思维方法集解》随笔系列——高中物理习题解决的“数列法”1608.doc

《高中物理思维方法集解》随笔系列 高中物理习题解决的“数列法” 山东平原一中 魏德田 我们知道，按一定顺序排列的一列数，叫做数列；数列中的某个数，叫做数列的一项。无论哪一种数列，都应具有一些自身的特点和变化的规律。在高中物理解题时，我们也常会用到等差数列、等比数列的知识。 由此，我们把应用数列知识解决物理问题的思维方法，称为数列法。 高中物理解题中，数列知识的应用分为：1．判断物理过程的特征；2．用通项公式求未知量；3．用求和公式求未知量等三个方面的问题。 一般地，按一定规律变化的多个子过程问题，大都具有类似性、反复性的特点。随着子过程过程的反复进行，某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵（如大小、正负、幂次等）却不同的表达式，由此得某种数列的前几项，应用归纳法（或递推原理），把这几项“融合”在一起，从而求出数列的通项公式，以描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。因此，我们即可用数列的通项公式求出某一项。若欲求数列前项之和，则常用对应的求和公式来解决。 解答此类问题的基本思路： ⑴先逐个分析多过程初期的几个子过程，分别找出数列的前几项； ⑵再利用归纳法找出数列的通项公式； ⑶最后整体分析物理过程，应用数列的通项公式或求和公式解决问题。 无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。 等差数列前n项之和，d为公差。 等比数列前n项之和：，q为公比。 下面，主要针对上述2、3两方面的问题，分别讨论数列知识在高考物理解题中的应用。 【例题】 数列法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通项表达式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数列知识求解。 用数列法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推式。 一． 某些物理状态或过程必须借助于数列知识，才能全面的描述其状态及其变化特征。此类问题，要求我们能够根据初始条件，以数学归纳法来递推规律，求出某个物理量的通项表达式。 【例题1】质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；… ；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a ，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程。 【解析】根据数列法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻t末的速度为vt = at 2t末的速度为v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at 3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at …… 由此可得，通项表达式则nt末的速度为 vnt = v(n－)t + nat = at + 2at + 3at + … + nat = at (1 + 2 + 3 + … + n) = at(n + 1)n =n (n + 1)at （2）同理：可推得nt内通过的总路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2 【点拨】从特殊到一般找到规律【例题2】线段AB长S，均分为n等分，一质点由A出发，以加速度a向B作匀加速运动，当质点到达每一等分的末端时，它的加速度增加了a/n，试证质点到B点时的速度是。 【解析】这是一道数学上有规律而物理上几乎无法完全归纳的问题，可只要发现了数学上的规律，而在物理上对其过程并不没有必要作很深的探讨。应用匀变速运动的速度-位移的关系式，分别对每段等分位移列出下面的表达式。 再把以上各式左右相加,可得 显然，。代入上式可得相同的结果 【点拨】用位移-速度的关系式，分别列出每一等份位移的方程。【例题3】（10北京）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响， 　　求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和； 　　（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。 　　【解析】（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒 第1次碰撞前? ，? 第1次碰撞后? ，??? ? ①?? （2）第2次碰撞 　　 利用①式化简得 ② 　　第2次碰撞后，利用②式得 　　?????????????? ????