2011年高考二轮复习专题一数学思想方法第四讲转化与化归思想.docVIP

第四讲 转化与化归思想 思想方法解读 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中． 1．转化与化归的原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解． 2．常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题． (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题． (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决． (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集?UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 方法应用示例 考点一 一般与特殊的转化 一般与特殊的转化．特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳思维，来引出一般问题的解决．如抽象函数、抽象数列等问题，可借助熟悉的特殊函数、数列等知识，探寻一般问题的规律，找到解决问题的突破口和方法． 例1 (2010·临沂模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则 的值是________． 【独立解答】　由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则. 【答案】 变式训练 1．过抛物线(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 A．2a　　　　　　　　　 B. C．4a D. 【解析】　取图形的特殊位置．如图，弦的特殊位置是抛物线的通径，抛物线x2＝的焦点为F . 由 得x2＝， ∴x＝±， ∴得特殊值p＝q＝， ∴＝4a. 【答案】　C 考点二 正向思维与逆向思维的转化 逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力．如果经常注意对问题的逆向思考，不仅可以加深对可逆知识的理解，而且可以提高思维的灵活性． 一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”． 例2 已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为________． 【独立解答】　由题意得A＝{y|y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当 A∩B＝时a的取值范围．如图： 由得 或 即时，的取值范围为或 时，的取值范围显然是其补集，从而所求范围为或 考点三 函数与方程、不等式之间的转化 函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从