一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系.docVIP

精品论文 参考文献 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系 张俊艺 黄淮学院数学科学系 463000 摘要 本文利用首次积分建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,并对求解常微分方程组的方法进行了分析和讨论. 关键词 首次积分 一阶线性偏微分方程 常微分方程组 1.引 言 在常微分方程这门课程中,我们已经了解了常微分方程的基本知识.那么我们就来探讨一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,然后再分析利用首次积分求解常微分方程组的方法.由常微分方程组的首次积分可以确定常微分方程组的任意一般解,这样的一个结论为我们求解常微分方程组奠定了基础，同时也是我们求解方程组的理论依据.所以，只要求得常微分方程组的彼此独立的首次积分,我们就可以确定常微分方程组的任意一般解. 2.下面就给出关于首次积分的基础理论知识. 定义2.1 在域G内连续可微且不恒等于常数的函数 ,如果其中的变元 用方程组 的任一解 代替时,它就取常数值 ,则关系式 =c称为方程组 的首次积分,有时也称 为首次积分.这里c是可允许范围内的任意常数. 这里 为 定义2.2 方程组(1)的n个首次积分 =c 为彼此独立的，如果雅可比行列式 在G内恒为零. 下面我们就建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系. 定理 2.1 =c称为方程组 的首次积分的充要条件是在G内成立着恒等式 证明: 由微分方程组存在定理知,对于任意一点 G,方程组(1)存在唯一解 满足初始条件 ， 若 =c称为方程组 的首次积分, 则 const, 从而 . 特别地, 当 时有 ， 再由 G的任意性, 得: .反之,若上面的恒等式在G内成立,自然在方程组 的解有意义处也成立. 因此 .即 是方程组(1)的首次积分. 定理2.2 如果 是方程组(1)的n个彼此独立的首次积分,则方程组 的任意一般解均可由( )式通过选取适当的一组常数 来确定. 证明: 依定义 , 从而可由( )式确定出 且 存在,连续. 首先,我们证明 是方程组(1)的解. 显然 , 因而, . (2) 另一方面,由于 是方程组(1)的首次积分,则根据定理2.1当 时有 . (3) 用(2)减去(3)可得到: . 注意到: 由上式推得 . 这表明 是方程组(1)的解其中 是任意常数. 现在设方程组(1)的任意解 ( ). 记 ,由上述知 是方程组(1)的解. 注意到 = ( ), 由解的存在唯一性定理知: = ( ). 从而, 可以由( )式确定出. 只需取 ( ). 由上面的定理可以看出,求解方程组(1)的问题就可以归结为寻求它的n个彼此独立的首次积分.但是如何求首次积分呢?却没有确定的方法,但下面的事实对我们求解微分方程组(1)却是有益的. 将方程组(1)写成对称形式 ,其中 . 如果能求得n+1个不同时为零的函数 使得 . , . 是某一函数 的全微分, 则 就是方程组(1)的首次积分. 参考文献 【1】王高雄等.常微分方程(第二版) .北京：高等教育出版社.1983. 【2】马知恩等.常微分方程定性与稳定性方法 .北京：科学出版社.2001. 本文：河南省科技发展计划项目122300410276