直线与圆的位置关系 求切线方程.ppt

* 复习：1、直线与圆的位置关系： 0 dr 1 d=r 切点 切线 2 dr 交点 割线 ．Ｏ l d r ┐ ┐ ．ｏ l d r ．O l d ┐ r . A C B . . 相离 相切 相交 2、判定直线 与圆的位置关系的方法有____种： （1）根据定义，由__________________的个数来判断； （2）根据性质，___________________________________的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。 两 直线 与圆的公共点 圆心到直线的距离d 与半径r 代数法 几何法 例:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为k, 半径OM所在直线的斜率为kOM. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 求圆的切线方程 圆的方程是x2+y2=r2, 则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为： 《自主》P92 4 例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程． 解法一：设切线的斜率为 k，由点斜式有 y＋7＝k(x－1)， 即 y＝k(x－1)－7， 将方程代入圆方程得 x2＋[k(x－1)－7]2＝25， 整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0. 故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0， 思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法． 故切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0. 解法二：设所求切线斜率为 k，则所求直线方程为 y＋7＝ k(x－1)，整理成一般式为 kx－y－k－7＝0， 所以切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0. 解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝ 25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25， 故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0. 《自主》P92 2 变式 总结: 圆的切线方程 求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关系: ① 过圆外一点圆的切线有两条， ② 过圆上一点圆的切线有一条， ③ 过圆内一点，没有切线． 在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率； (2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率（注意：在用这两种方法时一定要注意切线斜率不存在的情形,若求出只有一个斜率，应找回另一条．） （3）利用公式 点在圆上，可直接代入切线公式；若点在圆外，则设切点M（x0，y0），将点代入切线方程，与圆的方程组成方程组求解。 练习1: 求由下列条件所决定的圆 x2＋y2＝4 的切线方程： 解：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程为： y＋3＝k(x－3)?kx－y－3(k＋1)＝0， 当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意， 故直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0 或 x＝3. 练习2：过点 A(3，－3)且与圆(x－1)2＋y2＝4 相切的 直线 l 的方程是________________． 变式: 求过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方程. 解:将圆的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25, ∴圆心C(1,2),半径r=5. 易知点P(6,-8)在圆C外部,设切线方程为y+8=k(x-6), 即kx-y-6k-8=0. 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 ∴切线方程为 即3x+4y+14=0. x=6也符合.所以切线方程是: 3x+4y+14=0和x=6 思考： 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直 线4x-3y=0和x轴都相切，求该圆的标准方程 2.求圆心为（1,1）且与直线 相切的圆的方程. 设圆心为（a，1）,半径为1， 求得圆心为（2,1）或（-1/2,1）（舍） *