直线和平面垂直习题课.ppt

一、知识归纳 1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。 2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 3、直线和平面垂直的性质： （1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、唯一性定理： （1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 二、方法归纳 （一）线面垂直判定方法： 1、定义法： 2、判定定理： 3、性质法： （1）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； （2）如果一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线也垂直于另一个平面。 线线垂直证明的方法 1、平面几何知识；（计算证明） 2、证明两直线所成的角为直角； 3、线面垂直的定义。 * * * * * 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知： ， ． 求证： ． 证明：设 是 内的任意一条直线． 一、定义方法判定线面垂直 二、线面垂直判定定理的应用 例2：如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, 点E是PD的中点.证明PA 平面ABCD; P B A E C D O 例3、在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，O为BC的中点.求证:SO 平面ABC. S B A C O 三、定义法和判定定理的结合应用 知能迁移1 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD⊥面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC. 证明 （1）如图所示，取AB中点E， 连结SE，DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、 AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB, ∵SA=SB， ∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE=E， ∴AB⊥面SDE.而SD面 SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点， ∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC. （2）若AB=BC，则BD⊥AC， 由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC. 【例3】 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE； 【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD. 又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，故AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD. 又PD平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等． 【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC. 用线面垂直的性质定理证明线线垂直 【证明】如图，∠ACB＝90°， 所以BC⊥AC. 又在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1. 而AC∩CC1＝C， 所以BC⊥平面AA1C1C， 所以BC⊥AM. 连结A1C. 可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C. 而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.