离散数学左孝凌5.ppt

这是因为对于?a,b?A, 有f(a★b)=f(a)*f(b), 而?c,d?B, 有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以?a,b?A, 有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a) *f(b)) =g(f(a))Δg(f(b))= g。f(a)Δg。f(b) 。 因此，同构关系是等价关系。 5-8　同态与同构 定理5-8.2： 设f 是从代数系统A,★到代数系统B,*的同态映射。 （a） 如果A,★是半群，那么在f 作用下，同态象f(A),*也是半群。 （b）如果A,★是独异点，那么在f 作用下，同态象f(A),*也是独异点。 （c）如果A,★是群，那么在f 作用下，同态象f(A),*也是群。 5-8　同态与同构 证明：(a) 设A,★是半群且B,*是一个代数系统，如果f是由A,★到B,*的一个同态映射，则f(A)?B。 对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A 使得 f(x)=a, f(y)=b在A中，必有z=x★y，所以a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A) 5-8　同态与同构 最后，*在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c 因为★在A上是可结合的，所以 a*(b*c)=f(x)*(f(y)*f(z))=f(x)*f(y★z) 　　　 =f(x★(y★z))=f((x★y)★z)　　　 =f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)　　　 =(a*b)*c 因此，f(A),*是半群。 5-8　同态与同构 (b) 设A,★是独异点，e是A中的幺元，那么f(e)是f(A)中的幺元。这是因为对于任意的a∈f(A)　　 必有x∈A使f(x)=a，所以　　 a*f(e)=f(x)*f(e)=f(x★e)=f(x)=a　　　　　 =f(e★x)=f(e)*f(x)=f(e)*a 　　 因此，f(A),*是独异点。 5-8　同态与同构 (c) 设A,★是群。 对于任意的a∈f(A)必有x∈A 使f(x)=a， 因为A,★是群，故x有逆元,且f(x-1)∈f(A)， 而 f(x)*f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x -1★x) 　　　　　 =f(x -1)*f(x) 所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即f(x-1)= f(x)-1。 因此，f(A),*是群。 5-8　同态与同构 定义5-8.4：设f是由群G,★到群G’，*的同态映射，e’是G’中的幺元，记Ker(f)={x|x∈G且f(x)=e’}, 称Ker(f)为同态映射f 的核，简称f 的同态核。 5-8　同态与同构 定理5-8.3：设f是由群G,★到群G′,*的同态映射，则f的同态核K是G的子群。 证明： 由定理5-8.2可知，e? =f(e)。 设k1,k2∈K,则　　 f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)= e?*e? =e? 故k1★k2∈K。 对任意的k∈K,由定理5-8.2可知 f(k-1)=f(k)-1=e?-1=e? 　　 故k-1∈K。 因此，K,★是G,★的子群。 5-8　同态与同构 定义5-8.5： 设A,★是一个代数系统，并设R是A上的一个等价关系。 如果当a1,a2,b1,b2∈R时，蕴涵着a1★b1,a2★b2∈R, 则称R为A上关于★的同余关系。由这个同余关系将A划分成的等价类就称为同余类。 5-8　同态与同构 定理5-8.4： 设A,★是一个代数系统，R是A上的一个同余关系，B={A1, A2, …, Ar}是由R诱导的A的一个划分，那么，必定存在新的代数系统B,*,它是A,★的同态象。 证明：在B上定义二元运算*为： 对于任意的Ai, Aj∈B,任取a1∈Ai, a2∈Aj,如果a1★a2∈Ak, 则Ai*Aj=Ak。 由于R是A上的同余关系，所以，以上定义的Ai*Aj=Ak是唯一的。 5-8　同态与同构 作映射 f(a)=Ai ，a∈Ai。 显然，f是从A到B的满映射。 对于任意的x,y∈A, x,y必属于B中的某两个同余类，不妨设x∈Ai,y∈Aj,1≤i,j≤r;同时，x★y必属于B中某个同余类，不妨设x★y∈Ak,于是，就有 f(x★y) = Ak = Ai*Aj = f(x)*f(y) 因此，f是由A,★到B,*的满同态，即B,*是A,★的同态象。 5-8　同态与同构 定理5-8.5： 设f是由A,★到B,*的一个同态映射，如果在A上定义二元关系R为：a,b∈R当且仅当f(a)=f(b)，那么，R是A上的一个同余关系。 证明： 因为f(