立体几何中的垂直.ppt

（2011年）如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,O分别为CD， CC1和B1D1的中点，AB=BC=3，BB1=4。 （1）求证： A B C D o A1 B1 D1 C1 （2）求EF与DB所成角的余弦 （2010）已知：M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D! 的棱BB1和B1C1的中点。 （1）求证： A B C D D ? A1 B1 D1 C1 M N （2）求MN和AD所成的角 （2009年）长方形ABCD，沿BD将三角形BCD折起， C-C1在平面ABD的射影O在AB上。 （1）求证： A B C D C1 o （2）若已知角C1BA=600， 求面ADC1与面BDA所成的角 一、考试动态分析 AO⊥BD E F 立体几何中的垂直问题 崔艳梅 二、解题思想:化归转化的数学思想 三、转化依据：垂直的判定和性质 线线垂直 线面垂直 面面垂直 1、直线和平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. o n m 线线垂直 线面垂直 ? L P m 2、直线和平面垂直的性质定理： 如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直这个平面内的任意一条直线。 线面垂直 线线垂直 3、 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。 m⊥α m β α ⊥ β m 线面垂直 面面垂直 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 4、 平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 C m A B 5 、三垂线定理： 在平面 内的射影，直线m在 内 直线 是平面 的一条斜线 直线BC是直线 m ⊥ 则m ⊥BC 返回 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 判定 性质 性质 平面几何定理 三垂线定理 四、线线 线面 面面垂直的转化关系： A B C D o A1 B1 D1 C1 例1：（2010年）如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， O为底面中心，AB=BC=3，BB1=4。 求证： 证法一：三垂线定理 证明：∵ 长方体ABCD-A1B1C1D1 故 又∵BD//B1D1 A B C D o A1 B1 D1 C1 例1：（2010年）如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， O为底面中心，AB=BC=3，BB1=4。 求证： 证法二：线面垂直 证明： ∵长方体ABCD-A1B1C1D1 故 又∵BD//B1D1 A B C D o A1 B1 D1 C1 例1：（2010年）如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， O为底面中心， AB=BC=3，BB1=4 。 求证： 证法三：直接证 ∵ 长方体ABCD-A1B1C1D1 故 又∵BD//B1D1 AB=BC=3，BB1=4 故AB1=AD1 又∵O是B1D1中点 证明：连接AB1，AD1 A B C D D ? A1 B1 D1 C1 已知：M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D! 的棱BB1和B1C1的中点。 M N （2009年） 练习1： 求证：MN⊥AB P A B C 例2：（2007年）已知AB是圆的直径，PA垂直圆 O所在的平面，C是圆上任一点。 证明：∵PA⊥⊙O所在的平面 ∴PA⊥BC 又∵AB是圆的直径，C是圆上任一点 ∴AC⊥BC 又∵AC∩PA=A 故BC⊥面PAC 求证： BC⊥面PAC 练习2: 如图A为△BCD所在平面外一点，AC=AD，BC=BD,E为CD中点。 求证:CD ⊥面ABE A B C D E