第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线(理科).doc

第5节 直线与圆锥曲线 题型124 直线与圆锥曲线的位置关系 .(2013重庆理21） 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，. （1）求该椭圆的标准方程； （2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.若，求圆的标准方程. ．(2013湖南理） 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点，相交于点.以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在的直线记为. （）若，证明；； （）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程. 2013江西理 如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为． (1) 求椭圆的方程； (2) 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记 的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 4.在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）. A． B． C． D． 5.）（本小题满分13分） 已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率； （2）如图所示，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由. 6.（2014 天津理 18）（本小题满分13分） 设椭圆的左焦点为，，上顶点为.已知. （1）求椭圆的； （2）设为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率. 7.（2014 湖北理 21）（满分14分）中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为. （1）的方程； （2）的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围. 8.（2015北京理19）已知椭圆的离心率为，点和 点都在椭圆上，直线交轴于点. （1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表）； （2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.问：轴上是否存 在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 8. 解析 （1）因为，所以， 又点在椭圆：上，则，， 因此椭圆的方程为，直线的方程：， 令，可得，所以点的坐标是. （2）点与关于轴对称，所以，直线的方程：， 令，所以可得，则，因为， 所以，所以，即， 因为，又点在椭圆上， 所以，即，所以，得. 9.（2015福建理18）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为 直径的圆的位置关系，并说明理由． 9.分析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想． 解析 解法一：（1）由已知得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设点，，的中点为．由， 得，所以，， 从而， 所以， ， 故 ，所以． 故点在以为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一． （2）设点，，则，． 由，得， 所以，， 从而 ， 所以．又，不共线，所以为锐角． 故点在以为直径的圆外． 10.（2015全国I理20）在直角坐标系中，曲线与直线 交于，两点. （1）当时，分别求在点和处的切线方程； （2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由. 10.解析 （1）由题意知，时，联立，解得，． 又，在点处，切线方程为，即， 在点处，，切线方程为，即． 故所求切线方程为和． （2）存在符合题意的点，证明如下： 设点为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．联立方程，得，故，， 从而． 当时，有，则直线与直线的倾斜角互补， 故，所以点符合题意． 11.（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为， 点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为， . （1）求直线的斜率； （2）求椭圆的方程； （3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的 取值范围. 11．分析 (1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆 心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)设椭圆方程为， 直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程； (3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的 范围，即可求直线的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有，又由，可得，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由已知有，解得. (2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立， 消去，整理得，解得或，因为点在第一像限， 可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程