第1章-数值计算中的误差.ppt

* 3.2 算法的数值稳定性 算法：设计由已知数据计算问题结果的运算顺序 稳定性：在算法的计算过程中，数据误差和舍入误差 在计算过程中不增长，则称算法是数值稳定 的；否则称算法是数值不稳定的. * 算法Ⅰ * n (算法Ⅰ) 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 010 -011 012 -013 814 -41* * 算法Ⅱ 由于 取 按公式 计算 例如 * n (算法Ⅰ) (算法Ⅱ) 0 001 002 003 004 005 006 007 008 009 0010 -0011 0012 -0013 8014 -410* 分析原因： 由算法Ⅰ 对算法Ⅱ 结论：算法Ⅰ数值不稳定，算法Ⅱ数值稳定。 * §4　数值计算中应注意的问题 1. 避免两个相近的数相减 * 解. 若取 则 * 一般地， 当x充分大时，应作变换： 当x 接近零时，应作变换 * 2.避免大数“吃”小数. 计算机浮点数运算导致 绝对值差异很大的数做加减运算时，绝对值小的数被 吃掉. * 3.避免除数绝对值远小于被除数的绝对值 4.简化计算，减少运算次数，提高效率 如计算n次多项式的值 需 次乘法运算， 次加法运算. 需 次乘法运算， 次加法运算. * 5.选用数值稳定性好的算法. Ex. P13. 9, 10, 11, 12 * * * 例: a=1.2031, b=0.978经四舍五入得到, 问a+b, ab有几位有效数字? 解: 有三位有效数字 有三位有效数字 * [y,s]=No1_chap1_ex13(5,1e-8) y = 1.00000000599562 s = 28 function [y,s]=No1_chap1_ex13(a,epsilon) %求sqrt(\cdots sqrt(a))的近似值 %epsilon为容许误差 %s为所求平方根的次数 %y为近似值 k=1;s=1; x=sqrt(a); while k==1 x1=sqrt(x); s=s+1; if abs(x-x1)epsilon y=x1;break end x=x1; k=1; end P14 1 数值实验 数值计算方法 主讲教师: 张晓颖 * 教材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》，高等教育出版社 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等 * 最后成绩=平时出勤（10%）+作业成绩(10%)+期末考试成绩(80%) 答疑：课间 周一、三中午12:00—13:00 第三教学楼406 建议或问题：zhxy30@126.com * 问题：数值计算方法是做什么用的？ 数值 计算 求各种数学问题近似解的方法和理论 ? ? ? ? 计算 机 数学模型 实际问题 近似解 * 主要内容 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) 数值微分数值积分(第七章) 非线性方程求解(第八章) 常微分方程数值解法(第九章) * 第一章 误差 §1 误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 ——