第1章计算方法.ppt

* 第一章 绪 论 数值计算方法是计算数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法, 它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科, 是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。 应用计算机解决科学技术和工程问题的步骤： (1) 提出实际问题 (2) 建立数学模型 (3) 选用数值计算方法 (4) 编程上机计算得出数据结果。 (1) 绘制某一地区的地形图, 用空中航测方法, 空中连续拍照。 (2) 为形成三维地形图, 建立了一个大型超定线性方程组。 (3) 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解, 然后再整体平滑。 例如: (4) 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。 对算法所要考虑的问题： 1.计算速度： 2.存储量 例如, 求解一个20阶线性方程组, 用加减消元法需3000 次乘法运算; 而用克莱姆法则要进行 9.7?1020 次运算, 如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 3.数值稳定性 第一节 误 差 一、误差的来源 1. 模型误差: 在建立数学模型过程中, 不可能将所有因素均考虑, 必然要进行必要的简化, 这就带来了与实际问题的误差。 2.?观测误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。 3.?截断误差: 在设计算法时,近似处理带来的误差。 4.?舍入误差: 计算机的字长是有限的, 每一步运算 均需四舍五入, 由此产出的误差。 二、误差的基本概念 1. 误差和误差限 设 x* 是准确值x的一个近似值, 称 e(x*) = x* - x为近似值x*的绝对误差,简称误差. e(x*)又简记e*. 误差是有量纲的，可正可负。 误差是无法计算的 (因为准确值 x 不知道), 但可以估计出它的一个上界。即 |x* - x| ? ?(x*) 称 ?(x*)是近似值 x* 的绝对误差限, 简称误差限. 2. 相对误差和相对误差限 为近似值x* 的相对误差。简记为er*。 在实际计算中, 由于准确值 x 总是未知的, 且由于 称 是er(x*)的平方项级, 故当er(x*)较小时, 常取 相对误差是无量纲的, 也可正可负, 它的绝对值的上界称为该近似值的相对误差限, 记作 简记为 即 三、有效数字 所以 x* = 3.14 作为π的近似值,有3位有效数字；而 取x*=3.1416 时, 所以 x* = 3.1416 作为 π 的近似值,有5位有效数字。 例 π = 3.1415926535?, 取 x* = 3.14 时， 定义：如果近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们称 x* 有n 位有效数字。 定义：用 x* 表示 x 的近似值，并将x*表示成 若其误差限 ,则称 x*具有 n 位有效 下面给出有效数字的另一等价定义 例 π = 3.1415926535 ?, 取x* = 3.14时， 即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x* = 3.14 作为 π 近似值时, 就有3位有效数字。 数字, 这里 m 是整数, a1,a2 ,?,an 为 0~9 中的一个数字, 且a1 ? 0. 有n位有效数字， 。则其相对误差限为 证明 ，故 此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。 定理1 误差限与有效数字的关系： 设近似值 设近似值 的相对误差 则它至少有n位有效数字。 证明 已知 故x*至少有n位有效数字。 定理2 不大于 一、 算术运算的误差 可见, 和、差的误差是误差之和、差, 但是因为 所以和或差的误差限是误差限之和，以上的结论适用于任意多个近似数的和或差。 第二节 数值运算中误差的传播 由于 x* 的误差 e(x*) = x*- x 可看作是 x 的微分, 即 dx = x* - x ,则： x* 的相对误差是 它是对数函数的微分。 设u = xy , 则lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny ? ?r (u* ) = ?r (x* ) + ?r (y* ) 这就是说, 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和,相对误差限是各乘数的相对误差限之和。 同样, 若 u = x/y, 则 lnu = lnx – lny, 因此 dlnu = dlnx – dlny ? ?r (u* ) = ?r (x* ) + ?r (y* ) 即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差,但相对误差限是各乘数的相对误差限之和. 由此可得: 任意多次连乘、连除所得结果的相对误差限等于各乘数和除数的相对误差限之和。 例1