第2章_状态空间表达式的解.ppt

* * * * * * * * 或 * * * * * * * 控制系统的分析分为定量分析和定性分析两个方面： 概述 对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究 定量分析 定量的确定控制系统由外部输入作用所引起的响应 对控制系统的规律进行精确的研究 定性分析 能控性、能观测性和稳定性 第2章 状态空间表达式的解 本章结构 2.1 线性时不变系统的齐次解 2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 2.3线性时不变系统的非齐次解 复习：ZIR（零输入响应）与ZSR（零状态响应）的求解方法 经典法 一阶系统 现在要求它的ZIR 即 的解。 其特征方程为： 特征根 若零输入响应的初始值 已知，则ZIR应该为 一阶系统的零状态响应 对于一阶系统方程 x(t)：强迫函数（与输入信号有关） 特征方程的根： 则零状态响应： 所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的 自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程： 若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解： (2) 若初始时刻从 开始，即 则其解为： 证明 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量 2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解） 幂级数形式，即 (4) 代入式 得： (5) 既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次幂项的系数应相等，有： 2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解） 在式(4)中，令 ，可得： 将以上结果代入式(4)，故得方程的解： (6) 2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解） 矩阵指数 等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数， 记为 ，即 (7) 于是方程的解即式(6)可表示为： 2.1 线性时不变系统的齐次解（自由解） 状态转移矩阵 若初始条件为x（t0）=x0，则： 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为： 或 状态转移矩阵，记为： 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2．性质二 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 或 这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 3．性质三 组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。 或 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 即 4.性质四 或 5.性质五 或 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 6.性质六 7.性质7 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有 而当AB≠BA是，则 这个性质说明，除非矩阵A与B是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1.根据 的定义直接计算 2.2.3 的计算 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 例2-1：已知　　　　 求 解： 2.利用拉氏反变换法求 证明 齐次微分方程 两边取拉氏变换 即 故 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解： 例2-2：已知　　　　　　　　 求 解： 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.利用拉氏反变换法求 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 * 例2-3已知状态转移矩阵 试求 解：根据性质5，有 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 * 而根据性质2有： 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程： 当初始时刻 初始状态 时，其解为： 式中， 。 （1） 当初始时刻为 初始状态为 时，其解为：