第3章 数值积分法-3.ppt

3.6 基于场源离散化的数值积分法 基于场源离散化处理的数值积分法基本思想在于： 将连续源的效应由离散场源集合的叠加效应给以等值替代， 换句话说：将连续函数的积分运算用求和的方法逼近。 相对而言，求和比数值积分单纯，方法简单，且计算速度快，但计算精度决定于离散化的精度。 通常在一般计算精度要求的工程问题分析中，这一方法是行之有效的一种简明方法。 3.6.1 场源的离散化 图3-10a所示的矩形长直载流导线，采用基于场源离散化的直接积分法计算磁场，其处理方法是： 首先，将导线截面S离散成m=mxmy个小面积，如图3-10b所示， 其中mx为x方向分段数，my为y方向分段数， 每个小面积DSk（k=1，2，…，m）内的电流 其次，把电流DIk看作集中在DSk中心的线电流， 从而，载流导线所产生的场可以看作由m个线电流各自产生场的叠加。 显然，只有当载流载面离散为足够数量的小面积DSk时，才能保证计算结果具有满意的精度。 综上所述，场源离散化的原则是： 1) 离散网格的几何形状应力求有规则的形态，以便可由计算程序自动生成； 2) 对于载流截面内电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽量均匀； 3) 把每一网格内的电流分布看成是集中于该网格几何中心处的线电流。 3.6.2 电流源激励的磁场 当电流为磁场的激励源时，以最基本的线电流（包括长直流与环形线电流等）所产生的场为基础构造本方法。 仍以长直流导线的磁场为例， 如图3-4所示，由式（3-33）、（3-34）可知，一根位于源点（x, y）的长直线电流DIk在场点P(xp, yk)产生的磁感应强度的x和y方向分量分别为 于是按图3-10b示意的离散化，则由m根线电流的叠加，即可得待求场的近似解为 式中 而离散化所得的小面积 式中，Dx、Dy分别为小面积DSk在x、y方向的步长，也是两相邻小面积DSk中心间的距离，而DSk内的电流DIk=JDxDy。 3.6.3 电压源激励的磁场 磁场激励源为电压源，这时还常需补充电路方程，构成场—路组合的数学模型才有可能进行磁场的分析和计算。 现以螺线管线圈作为示例加以讨论。 当螺线管线圈外施交变电压为U时，线圈内将通过电流I=U/Z。 在准静态场的假设条件下，忽略线圈的匝间电容，不计电流的集肤效应，则线圈的阻抗Z=R+jXL，为此，场的正问题分析必然同时涉及线圈电阻和电感的计算。 (1)螺线管线圈的电感 作为电磁参数的电感，它有自感系数L与互感系数M之区分， 而螺线管线圈的电感则对应于多线匝中同时存在的自感与互感效应。 1)互感系数的计算 设一般化的计算模型如图3-11所示， 两同轴环形线圈，半径分别为ra与rb，线圈间距离为h。 当线圈A中通有电流Ia时，参照式（3-45），可得线圈B上任一点处的向量磁位Ab为 因此，由Ia产生与线圈B所交链的磁通为 则互感系数 式中，第一、二类椭圆积分K和E的含义同前； 模数 2)自感系数的计算 设一般化的计算模型如图3-12所示， 该单匝环形线圈中的电流被看成集中于其轴线la上的线电流I。 同前理，按式（3-45）计算线电流I在线圈内侧边线lb上的向量磁位Ab，从而可以求出穿过由闭合边线lb所围面积中的磁通F，则环形线圈的外自感 若进而设ra=R，rb=R-a（a为环形线圈的导线半径），且此处h=0，则按式（3-62）可得模数k为 实际问题的结构尺寸通常满足Ra，因此可取k≈1。 不难证明，当k=1时 于是 而环形线圈的自感还应包含其内自感 故单匝环形线圈的自感 3)螺线管线圈的电感 设N匝螺线管线圈的内、外半径分别为R1与R2，高度为h，导线半径为a。 按上述方法，如图3-13所示，将场源离散为m=mrmz个环形线圈，mr与mz分别为r与z方向的分段数。 每个环形线圈以双下标予以识别，第ij号环形线圈的电感Lij应包括其自感以及它与其它（m-1）个环形线圈间的互感之和，即应有 式中，aij为第ij号环形线圈截面的等效半径； 模数 于是，螺线管线圈的电感为 (2)螺线管线圈的电阻 式中， Rav=(R1+R2)/2-----平均半径； N为线圈的匝数； r为导线的电阻率。 (3)螺线管线圈的磁场 在给定电压源激励的情况下，根据线圈结构，由以上场合路组合的分析，可算出线圈的阻抗： Z=R+jwL， 因而可知流经线圈的电流为 螺线管线圈产生的场具有轴对称性，同于电流源激励的状态，取线圈的等效截面为S=(R2-R1)h，设截面内电流均匀分布，即电流密度为J=NI/S。 在r和z方向分别把截面S等距分割成mr和mz段，则在相同的每一小截面DS内的电流 式中，