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第四章 多层平板波导 黄衍堂 4 . 1 非对称多层平板波导 4 . 1 . 1 非对称四层平板波导 而方程（ 4 . 19 ）中左边第二、三项前的振幅分别是主波从 n1 介质射向 n2介质和主波从n2介质射向 nl 介质时的反射系数。可见这两项代表波导传输的反射子波。主波与反射子波的相干叠加构成了四层波导中的导波. 式（ 4 . 19 ）可约化为如下形式： 4 . 1 . 2 非对称多层平板波导 4 . 2 对称多层平板波导 4 . 2 . 1 对称三层平板波导 设衬底和覆盖层的折射率均为n０，折射率为n 1 的导波层的厚度设为 2h 。于是三层对称平板波导矩阵形式的模式本征方程为如下形式： 4 . 2 . 4 平板耦合波导 4 . 2 . 3 “W”型波导 UP DOWN BACK * 共29页 * * 由于多层平板波导在模场分布、模式截止和功率约束等方面具有许多独特的性质，因此，这种结构在半导体激光器、光波导定向藕合器、光波导偏振器等波导器件中有着重要的应用。本章首先分析非对称平板波导的色散性质，然后再讨论对称多层平板波导及其重要特性，最后，利用传输型色散方程和微扰理论分析平板藕合波导及其重要性质。 第４章 多层平板波导 1 ．转移矩阵理论 对图 4 . 1 所示的四层平板波导，传播常数β有两种选择： 对于这种情况，可知导波层位于（ 0 , h1 + h 2）的范围，即在中间两层薄膜中电磁场都是振荡的，而在覆盖层和衬底中，电磁场是指数衰减的。 根据第 3 章的理论， 可立刻写出矩阵形式的模式本征方程： 由式（ 4 · 2 ）和式（ 4 · 3 ）两式，非对称四层平板波导的模式本征方程由（4.1）可写成较为熟悉的形式 为说明模式本征方程（ 4 . 5 ）的物理意义，做以下处理，令: 考虑方程（ 4 . 10 ) ，发现该方程与简单三层平板波导的模式本征方程（ 2 . 7 ）十分类似，除了一项中Φ(s)之外，其他各项的意义是非常清楚的。 而上式右边一项表示光从 n1介质射向 n2介质时的反射系数。因此，Φ(s)可理解为一阶反射子波的相位贡献。 Φ(s)是由两种介质界面引起的一个反射量，该量的大小由两种介质的折射率差决定。折射率差大，则Φ(s)也大；折射率差小，则Φ(s)也小。 综合上述分析，可得以下重要结论：对多层平板波导，不仅要考虑主波的相位贡献，而且要考虑层间反射子波的相位贡献。 2 场匹配理论 　　设横向电场分布为 p.23 对于如图 4 . 3 所示的非对称 l 十 2 层平板波导，只要推广 4 . 1 . 1 节的结果，便可得到 TE 波的矩阵形式的模式本征方程: 式中，相应于第 i 层薄膜的转移矩阵 Mi由下式表示 化简式（ 4 . 23 ) ，容易得到 式中 式（ 4 . 25 ）和式（ 4 . 26 ）两式完全确定了非对称多层平板波导的色散性质。 式 ( 4 . 26 ）是一递推公式，在 Pi + 1 已知的情况下，才可求得 pi，并以此类推，最终才可求得 p2。当 l = 2 时，多层平板波导退化为简单的四层平板波导，而式 ( 4 . 26 ）也退化为四层平板波导相应的公式（ 4 . 6 ）。 为区别主波与子波的相位关系，令: 式中 式（ 4 . 34 ）是适用于任意多层平板波导的模式本征方程． 4 . 2 . 2 对称五层平板波导 对称五层平板波导矩阵形式的模式本征方程为： 式中 借用 4 . 2 . 1 节的结果，得 利用上述方法，完全可把以上结果推广到对称 2k + 1 ( k 为正整数）层平板波导，而且所得模式本征方程的形式与三层平板波导完全一致，不同之处仅在于 p２的定义． 五层平板波导约束电磁场的能力在一定条件下比三层平板波导强，利用这个性质可以制成性能良好的半导体激光器。 为了说明这一点，下面计算功率约束因子 r ，即波导芯子功率占总功率的百分比。波导芯子是指厚度为 2h1 的薄膜。定义 利用第 2 章中给出的 TE 模的场分布，代人式（ 4 . 56 ) ，并应用归一化变量，可得 UP DOWN BACK * 共29页 *