10高考数学不等式问题的题型与方法.doc

第10讲 不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．整式不等式()的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．(商)→变形→判断符号(值)． 5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。 2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。 3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 三、例题分析 b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____． 分析M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？ 解依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3) (2)当1≤y≤3时， 所以当y=1= 4． 简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式 例2．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 例3．数列由下列条件确定： （1）证明：对于, （2）证明：对于． 证明：（1） （2）当时， =。 例4．解关于的不等式： 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 。 例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围． 分析f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解． 解y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是 解法一() 不等式组()变形得 (Ⅰ) 所以f(-2)的取值范围是[6，10]． 解法二() 建立直角坐标系aob(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10． 解法三() 又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1) 1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 所以　　　 33f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10． 简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解： 2b，8≤4a